Найдите объём многогранника, вершинами которого являются точки \(B\), \(C\), \(E\), \(F\), \(B_1\), \(C_1\), \(E_1\), \(F_1\) правильной шестиугольной призмы \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\), площадь основания которой равна \(10\), а боковое ребро равно \(12\).
Шаг 1. Что это за многогранник
Точки \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) лежат в нижнем основании, а \(B_1\), \(C_1\), \(E_1\), \(F_1\) — ровно над ними. Значит это призма с основанием \(BCEF\) и тем же боковым ребром \(12\).
Шаг 2. Основание BCEF — прямоугольник
Пусть сторона шестиугольника равна \(a\). Отрезки \(BC\) и \(EF\) — противоположные стороны шестиугольника, они равны и параллельны, поэтому \(BCEF\) — параллелограмм. Отрезок \(CE\) соединяет вершины через одну, то есть это меньшая диагональ, и она перпендикулярна стороне \(BC\). Значит \(BCEF\) — прямоугольник со сторонами
\[BC = a,\qquad CE = a\sqrt3.\]
Шаг 3. Какую долю основания он занимает
\[S_{BCEF} = a\cdot a\sqrt3 = a^2\sqrt3,\qquad
S_{\text{шест}} = \dfrac{3\sqrt3}{2}a^2.\]
\[\dfrac{S_{BCEF}}{S_{\text{шест}}} = \dfrac{a^2\sqrt3}{\tfrac{3\sqrt3}{2}a^2} = \dfrac{2}{3}.\]
Поэтому
\[S_{BCEF} = \dfrac23\cdot 10 = \dfrac{20}{3}.\]
Шаг 4. Объём
\[V = S_{BCEF}\cdot 12 = \dfrac{20}{3}\cdot 12 = 80.\]