В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны \(32\). Найдите угол между прямыми \(AE_1\) и \(CC_1\). Ответ дайте в градусах.
Шаг 1. Переносим одну из прямых
Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между пересекающимися прямыми, им параллельными. Призма прямая, все боковые рёбра параллельны, поэтому \(CC_1 \parallel AA_1\). Значит
\[\angle(AE_1,\;CC_1) = \angle(AE_1,\;AA_1) = \angle E_1AA_1.\]
Шаг 2. Треугольник AA₁E₁ прямоугольный
Боковое ребро \(AA_1\) перпендикулярно плоскости верхнего основания, а отрезок \(A_1E_1\) лежит в этой плоскости. Значит \(AA_1 \perp A_1E_1\) и треугольник \(AA_1E_1\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(A_1\).
Шаг 3. Находим катеты
Боковое ребро: \(AA_1 = 32\).
Отрезок \(A_1E_1\) соединяет вершины правильного шестиугольника через одну — это его меньшая диагональ. Для шестиугольника со стороной \(a\) она равна \(a\sqrt3\):
\[A_1E_1 = 32\sqrt3.\]
Шаг 4. Считаем угол
\[\mathrm{tg}\,\angle E_1AA_1 = \dfrac{A_1E_1}{AA_1} = \dfrac{32\sqrt3}{32} = \sqrt3,\]
\[\angle E_1AA_1 = 60^\circ.\]