Через среднюю линию основания треугольной призмы, объём которой равен \(48\), проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите объём отсечённой треугольной призмы.
Шаг 1. Что отсекает плоскость
Пусть \(M\) и \(N\) — середины сторон \(AB\) и \(AC\). Отрезок \(MN\) — средняя линия основания. Плоскость проведена через \(MN\) параллельно боковому ребру, поэтому она пересекает верхнее основание по отрезку \(M_1N_1\), и отсечённая фигура — снова призма, с основанием \(AMN\) и той же высотой.
Шаг 2. Во сколько раз меньше основание
Средняя линия отсекает треугольник \(AMN\), подобный треугольнику \(ABC\) с коэффициентом \(k = \dfrac12\) (стороны \(AM\) и \(AN\) вдвое меньше, угол \(A\) общий). Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента:
\[S_{AMN} = \dfrac14 S_{ABC}.\]
Шаг 3. Объём
Высота у обеих призм одна и та же, значит объёмы относятся так же, как площади оснований:
\[V_{\text{отс}} = \dfrac14 V = \dfrac{48}{4} = 12.\]