Угол \(ACO\) равен \(57^\circ\). Его сторона \(CA\) касается окружности с центром \(O\). Сторона \(CO\) пересекает окружность в точке \(B\). Найдите градусную меру дуги \(AB\) окружности, лежащей внутри этого угла. Ответ дайте в градусах.
Шаг 1. Радиус перпендикулярен касательной
Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:
\[\angle OAC = 90^\circ.\]
Шаг 2. Находим угол при центре
В треугольнике \(OAC\) угол при вершине \(A\) прямой, поэтому два острых угла дают в сумме \(90^\circ\):
\[\angle AOC = 90^\circ - 57^\circ = 33^\circ.\]
Шаг 3. От центрального угла к дуге
Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит \(\angle AOB\) — это тот же угол \(AOC\). Он центральный, поэтому дуга \(AB\) равна ему:
\[\smile AB = 33^\circ.\]