Катеты равнобедренного прямоугольного треугольника равны \(30 + 15\sqrt2\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Шаг 1. Находим гипотенузу
Обозначим катет через \(a = 30 + 15\sqrt2\). В равнобедренном прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета в \(\sqrt2\) раз:
\[AB = a\sqrt2.\]
Шаг 2. Формула радиуса для прямоугольного треугольника
Для прямоугольного треугольника с катетами \(a\), \(b\) и гипотенузой \(c\)
\[r = \dfrac{a + b - c}{2}.\]
Здесь оба катета равны \(a\), а гипотенуза равна \(a\sqrt2\), поэтому
\[r = \dfrac{a + a - a\sqrt2}{2} = \dfrac{a\,(2 - \sqrt2)}{2}.\]
Шаг 3. Подставляем и упрощаем
Вынесем общий множитель: \(a = 30 + 15\sqrt2 = 15\,(2 + \sqrt2)\). Тогда
\[r = \dfrac{15\,(2 + \sqrt2)(2 - \sqrt2)}{2} = \dfrac{15\,(4 - 2)}{2} = \dfrac{15\cdot 2}{2} = 15.\]