Найдите величину угла \(ACO\), если его сторона \(CA\) касается окружности с центром \(O\). Отрезок \(CO\) пересекает окружность в точке \(B\). Дуга \(AB\) окружности, заключённая внутри этого угла, равна \(66^\circ\). Ответ дайте в градусах.
Шаг 1. Радиус в точку касания
Прямая \(CA\) касается окружности в точке \(A\), а радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной:
\[OA \perp CA,\qquad\text{то есть}\qquad \angle OAC = 90^\circ.\]
Шаг 2. Переводим дугу в угол
Угол \(AOB\) — центральный, он опирается на дугу \(AB\), поэтому равен её градусной мере:
\[\angle AOB = 66^\circ.\]
Точка \(B\) лежит на отрезке \(CO\), значит угол \(AOC\) — это тот же самый угол: \(\angle AOC = 66^\circ\).
Шаг 3. Сумма острых углов прямоугольного треугольника
В треугольнике \(OAC\) угол при вершине \(A\) прямой, поэтому два других угла в сумме дают \(90^\circ\):
\[\angle ACO = 90^\circ - 66^\circ = 24^\circ.\]