В треугольнике \(ABC\) угол \(C\) равен \(90^\circ\), \(AC = 25\), \(\sin A = \dfrac{12}{13}\). Найдите \(BC\).
Шаг 1. Находим косинус
Угол \(A\) — острый угол прямоугольного треугольника, поэтому его косинус положителен. По основному тригонометрическому тождеству
\[\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = \sqrt{\dfrac{25}{169}} = \dfrac{5}{13}.\]
Шаг 2. Тангенс связывает два катета
В прямоугольном треугольнике с прямым углом \(C\) катет \(BC\) противолежит углу \(A\), а катет \(AC\) прилежит к нему. По определению тангенса
\[\operatorname{tg} A = \dfrac{BC}{AC},\qquad\text{а также}\qquad \operatorname{tg} A = \dfrac{\sin A}{\cos A} = \dfrac{12/13}{5/13} = \dfrac{12}{5}.\]
Отсюда
\[BC = AC\cdot \operatorname{tg} A = 25\cdot \dfrac{12}{5} = 60.\]