Отрезки \(AC\) и \(BD\) — диаметры окружности с центром \(O\). Угол \(ACB\) равен \(32^\circ\). Найдите угол \(AOD\). Ответ дайте в градусах.
Шаг 1. От вписанного угла к центральному
Угол \(ACB\) — вписанный, его вершина \(C\) лежит на окружности, а стороны проходят через точки \(A\) и \(B\). Значит он опирается на дугу \(AB\).
Центральный угол \(AOB\) опирается на ту же дугу \(AB\). Вписанный угол вдвое меньше центрального, опирающегося на ту же дугу, поэтому
\[\angle AOB = 2\,\angle ACB = 2\cdot 32^\circ = 64^\circ.\]
Шаг 2. Переходим к искомому углу
Отрезок \(BD\) — диаметр, значит точки \(B\), \(O\) и \(D\) лежат на одной прямой. Тогда углы \(AOB\) и \(AOD\) — смежные, и их сумма равна \(180^\circ\):
\[\angle AOD = 180^\circ - 64^\circ = 116^\circ.\]