Пункт а, шаг 1. Какие стороны трапеции параллельны

Точки \(M\) и \(K\) лежат в плоскости верхнего основания, точки \(A\) и \(N\) — в плоскости нижнего. Эти плоскости параллельны, а секущая плоскость \((AMKN)\) пересекает их по прямым \(MK\) и \(AN\), значит

\[MK \parallel AN.\]

Следовательно, основания трапеции — это \(MK\) и \(AN\), а боковые стороны — \(AM\) и \(KN\).

Пункт а, шаг 2. Спускаем всё в основание

Спроектируем точки \(M\) и \(K\) на плоскость основания; получим точки \(M_0\) на \(AB\) и \(K_0\) на \(BC\). Призма прямая, поэтому проекция сохраняет и отношения на рёбрах, и длины горизонтальных отрезков:

\[BK_0 : K_0C = B_1K : KC_1 = 1 : 2\ \Longrightarrow\ BK_0 = \dfrac13\,BC,\]

\[M_0K_0 \parallel MK \parallel AN,\qquad M_0K_0 = MK.\]

Теперь в основании прямая \(M_0K_0\) параллельна \(AN\), поэтому треугольники \(BM_0K_0\) и \(BAN\) подобны (общий угол при вершине \(B\)):

\[\dfrac{BM_0}{BA} = \dfrac{BK_0}{BN} = \dfrac{M_0K_0}{AN}.\]

Точка \(M_0\) лежит на отрезке \(AB\), значит \(BM_0 \le BA\), и потому \(MK \le AN\). Основания равны \(2\) и \(3\), следовательно

\[MK = 2,\qquad AN = 3,\qquad \dfrac{BK_0}{BN} = \dfrac23.\]

\[BN = \dfrac32\,BK_0 = \dfrac32\cdot\dfrac13\,BC = \dfrac{BC}{2},\]

то есть \(N\) — середина \(BC\).

Важно! Ключевой шаг — понять, какое из чисел \(2\) и \(3\) является верхним основанием. Это решается одной фразой: \(M_0\) лежит внутри отрезка \(AB\), поэтому меньший коэффициент подобия идёт к \(MK\).

Пункт б, шаг 1. Связываем стороны основания

Из того же подобия \(\dfrac{BM_0}{BA} = \dfrac23\), значит \(AM_0 = \dfrac13\,AB\).

Призма прямая, поэтому боковые стороны трапеции считаются по теореме Пифагора (высота призмы равна \(2\)):

\[AM^2 = AM_0^2 + 2^2 = \left(\dfrac{AB}{3}\right)^2 + 4,\]

\[KN^2 = K_0N^2 + 2^2,\qquad K_0N = BN - BK_0 = \dfrac{BC}{2} - \dfrac{BC}{3} = \dfrac{BC}{6}.\]

Трапеция равнобедренная, то есть \(AM = KN\):

\[\dfrac{AB}{3} = \dfrac{BC}{6}\ \Longrightarrow\ BC = 2\,AB.\]

Пункт б, шаг 2. Находим AB

Обозначим \(AB = p\). Тогда \(BN = \dfrac{BC}{2} = p\), то есть треугольник \(ABN\) равнобедренный: \(AB = BN = p\) и \(AN = 3\).

Площадь основания: \(S_{ABCD} = \dfrac{V}{h} = \dfrac{12}{2} = 6\). Диагональ делит параллелограмм пополам, а точка \(N\) — середина \(BC\), поэтому

\[S_{ABN} = \dfrac12\,S_{ABC} = \dfrac12\cdot\dfrac12\,S_{ABCD} = \dfrac32.\]

Пусть \(\beta = \angle ABN\). Записываем два уравнения:

\[\dfrac12\,p^2\sin\beta = \dfrac32\ \Longrightarrow\ p^2\sin\beta = 3,\]

\[AN^2 = p^2 + p^2 - 2p^2\cos\beta = 2p^2(1 - \cos\beta) = 9.\]

Разделим второе на первое:

\[\dfrac{2(1-\cos\beta)}{\sin\beta} = 3\ \Longrightarrow\ \dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta} = \dfrac32\ \Longrightarrow\ \operatorname{tg}\dfrac{\beta}{2} = \dfrac32.\]

Важно! Здесь использовано тождество \(\dfrac{1-\cos\beta}{\sin\beta} = \operatorname{tg}\dfrac{\beta}{2}\). Его стоит знать: оно превращает систему «площадь + сторона» в одно уравнение на половинный угол.

Из \(\operatorname{tg}\frac{\beta}{2} = \frac32\) находим

\[\sin\beta = \dfrac{2\operatorname{tg}\frac{\beta}{2}}{1+\operatorname{tg}^2\frac{\beta}{2}} = \dfrac{3}{1+\frac94} = \dfrac{12}{13},\qquad p^2 = \dfrac{3}{\sin\beta} = \dfrac{13}{4}.\]

Пункт б, шаг 3. Площадь трапеции

\[AM^2 = \dfrac{p^2}{9} + 4 = \dfrac{13}{36} + 4 = \dfrac{157}{36},\qquad AM = \dfrac{\sqrt{157}}{6}.\]

В равнобедренной трапеции с основаниями \(3\) и \(2\) боковая сторона проектируется на большее основание в отрезок длиной \(\dfrac{3-2}{2} = \dfrac12\), поэтому высота

\[h_{\text{тр}} = \sqrt{AM^2 - \left(\dfrac12\right)^2} = \sqrt{\dfrac{157}{36} - \dfrac14} = \sqrt{\dfrac{148}{36}} = \dfrac{2\sqrt{37}}{6} = \dfrac{\sqrt{37}}{3}.\]

\[S_{AMKN} = \dfrac{2+3}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{37}}{3} = \dfrac{5\sqrt{37}}{6}.\]

Ответ: \(\dfrac{5\sqrt{37}}{6}\)