Дана прямая призма \(ABCA_1B_1C_1\). \(ABC\) — равнобедренный треугольник с основанием \(AB\). На \(AB\) отмечена точка \(P\) такая, что \(AP : PB = 3 : 1\). Точка \(Q\) делит пополам ребро \(B_1C_1\). Точка \(M\) делит пополам ребро \(BC\). Через точку \(M\) проведена плоскость \(\alpha\), перпендикулярная \(PQ\).
а) Докажите, что прямая \(AB\) параллельна плоскости \(\alpha\).
б) Найдите отношение, в котором плоскость \(\alpha\) делит \(PQ\), если \(AA_1 = 5\), \(AB = 12\), \(\cos\angle ABC = \dfrac35\).
Пункт а, шаг 1. Отрезок MQ вертикален
Точка \(M\) — середина \(BC\), точка \(Q\) — середина \(B_1C_1\). Призма прямая, поэтому \(BB_1\) и \(CC_1\) перпендикулярны основаниям и равны. Отрезок \(MQ\) соединяет середины \(BC\) и \(B_1C_1\), значит он параллелен боковым рёбрам:
\[MQ \perp (ABC),\qquad MQ = AA_1.\]
Пункт а, шаг 2. Отрезок MP перпендикулярен AB
Пусть \(H\) — середина \(AB\). Треугольник \(ABC\) равнобедренный с основанием \(AB\), поэтому медиана \(CH\) является высотой: \(CH \perp AB\).
Проведём из середины \(M\) ребра \(BC\) прямую, параллельную \(CH\). В треугольнике \(BCH\) это средняя линия, значит она пересекает \(BH\) в его середине и равна \(\frac12 CH\). Середина \(BH\) делит \(AB\) в отношении \(3 : 1\) от точки \(A\) — а это ровно точка \(P\) из условия. Итак
\[MP \perp AB,\qquad MP = \dfrac12\,CH.\]
Пункт а, шаг 3. Собираем
Прямая \(AB\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(MP\) и \(MQ\) плоскости \((MPQ)\), значит
\[AB \perp (MPQ)\ \Longrightarrow\ AB \perp PQ.\]
Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна \(PQ\), то есть \(PQ\) — её нормаль. Прямая, перпендикулярная нормали, либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.
Лежать в \(\alpha\) прямая \(AB\) не может: вместе с точкой \(M\) она задавала бы плоскость основания, и тогда \(PQ\) была бы перпендикулярна основанию. Но это не так — проекция \(PQ\) на основание есть отрезок \(PM\) ненулевой длины. Значит
\[AB \parallel \alpha.\]
Важно! Пункт «не лежит в плоскости» часто забывают, а без него доказательство неполное: перпендикулярность нормали даёт либо параллельность, либо принадлежность.
Пункт б. Высота в прямоугольном треугольнике
Пусть \(X\) — точка пересечения \(\alpha\) и \(PQ\). Так как \(\alpha \perp PQ\) и \(M \in \alpha\), отрезок \(MX\) перпендикулярен \(PQ\). То есть \(X\) — основание высоты, опущенной из \(M\) на гипотенузу в треугольнике \(PMQ\).
Треугольник \(PMQ\) прямоугольный: \(MP\) лежит в основании, а \(MQ\) перпендикулярна основанию, значит \(MQ \perp MP\).
Находим катеты. Из условия \(\cos\angle ABC = \frac35\) и \(HB = \frac{AB}{2} = 6\):
\[BC = \dfrac{HB}{\cos\angle ABC} = \dfrac{6}{3/5} = 10,\qquad CH = \sqrt{BC^2 - HB^2} = \sqrt{100 - 36} = 8.\]
\[MP = \dfrac{CH}{2} = 4,\qquad MQ = AA_1 = 5,\qquad PQ = \sqrt{16 + 25} = \sqrt{41}.\]
В прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, делит её на отрезки, равные проекциям катетов:
\[PX = \dfrac{MP^2}{PQ} = \dfrac{16}{\sqrt{41}},\qquad XQ = \dfrac{MQ^2}{PQ} = \dfrac{25}{\sqrt{41}}.\]
\[PX : XQ = 16 : 25.\]
Важно! Отношение отрезков гипотенузы равно отношению квадратов катетов — это прямое следствие свойства \(\text{катет}^2 = \text{гипотенуза}\times\text{проекция}\). Проверка: \(16 + 25 = 41\), и \(PX + XQ = \frac{41}{\sqrt{41}} = \sqrt{41} = PQ\) ✓.
Ответ: \(16 : 25\)