В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) сторона основания \(AB\) равна \(4\), а боковое ребро \(SA\) равно \(7\). На рёбрах \(CD\) и \(SC\) отмечены точки \(N\) и \(K\) соответственно, причём \(DN : NC = SK : KC = 1 : 3\). Плоскость \(\alpha\) содержит прямую \(KN\) и параллельна прямой \(BC\).
а) Докажите, что плоскость \(\alpha\) параллельна \(SA\).
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(SBC\).
Пункт а, шаг 1. Строим сечение
Плоскость \(\alpha\) параллельна прямой \(BC\). Разберём, как она режет пирамиду.
Основание. Плоскость \(ABCD\) содержит \(BC\), а \(\alpha\) параллельна \(BC\) и имеет с основанием общую точку \(N\). Значит \(\alpha\) пересекает основание по прямой, проходящей через \(N\) параллельно \(BC\); она пересекает \(AB\) в точке \(P\).
Грань \(SBC\). Она содержит \(BC\), а \(\alpha\) имеет с ней общую точку \(K\). Значит \(\alpha\) пересекает эту грань по прямой, проходящей через \(K\) параллельно \(BC\); она пересекает \(SB\) в точке \(L\).
Сечение — четырёхугольник \(PLKN\).
Важно! Всё опирается на одну лемму: если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\), а плоскость \(\gamma\) содержит \(a\) и пересекает \(\beta\), то линия пересечения параллельна \(a\). Здесь она применена дважды — к основанию и к боковой грани.
Пункт а, шаг 2. Считаем отношения
В квадрате \(ABCD\): \(NP \parallel BC\), а \(BC\) перпендикулярно и \(AB\), и \(DC\). Значит \(ADNP\) — прямоугольник, и
\[AP = DN = 1,\qquad PB = 4 - 1 = 3.\]
В треугольнике \(SBC\): \(KL \parallel BC\), поэтому
\[\dfrac{SL}{LB} = \dfrac{SK}{KC} = \dfrac13,\qquad\text{то есть}\qquad \dfrac{BL}{BS} = \dfrac34.\]
Теперь смотрим на треугольник \(SAB\). В нём
\[\dfrac{BP}{BA} = \dfrac34,\qquad \dfrac{BL}{BS} = \dfrac34.\]
Отрезки отложены от общей вершины \(B\) в одинаковом отношении, значит
\[PL \parallel SA.\]
Прямая \(PL\) лежит в плоскости \(\alpha\), а прямая \(SA\) в ней не лежит. Прямая, параллельная прямой плоскости и не лежащая в этой плоскости, параллельна самой плоскости:
\[SA \parallel \alpha.\]
Пункт б, шаг 1. Где искать линейный угол
Плоскости \(\alpha\) и \((SBC)\) пересекаются по прямой \(KL\) — она лежит в обеих. Напомним, что \(KL \parallel BC\).
Пусть \(E\) и \(F\) — середины сторон \(AD\) и \(BC\). Тогда \(EF \parallel AB\), а значит \(EF \perp BC\). Высота пирамиды \(SO\) перпендикулярна основанию, поэтому \(SO \perp BC\). Две пересекающиеся прямые \(EF\) и \(SO\) плоскости \((SEF)\) перпендикулярны \(BC\), значит
\[BC \perp (SEF),\qquad\text{а вместе с ней и}\qquad KL \perp (SEF).\]
Отсюда план: всё, что лежит в плоскости \((SEF)\), автоматически перпендикулярно \(KL\). Обозначим \(M = KL \cap (SEF)\) (это середина \(KL\), она лежит на \(SF\)) и \(Q = \alpha \cap EF\) (это середина \(PN\)). Тогда \(MF \subset (SBC)\), \(MQ \subset \alpha\), и обе эти прямые перпендикулярны \(KL\). Значит искомый угол
\[\varphi = \angle QMF.\]
Пункт б, шаг 2. Считаем стороны треугольника QMF
Треугольник \(SBC\) равнобедренный (\(SB = SC = 7\)), поэтому его медиана \(SF\) — ещё и высота:
\[SF = \sqrt{SB^2 - BF^2} = \sqrt{49 - 4} = \sqrt{45} = 3\sqrt5.\]
Точка \(M\) лежит на \(SF\), причём \(SM : MF = SK : KC = 1 : 3\), значит
\[MF = \dfrac34\,SF = \dfrac{9\sqrt5}{4}.\]
Точка \(Q\) лежит на \(EF\). Прямая \(PN\) параллельна \(BC\) и удалена от \(AD\) на \(AP = 1\), поэтому \(EQ = 1\), а так как \(EF = AB = 4\):
\[QF = 4 - 1 = 3.\]
Треугольник \(SEF\) равнобедренный (\(SE = SF\)), его высота падает в середину \(O\) отрезка \(EF\), поэтому
\[\cos\angle MFQ = \cos\angle SFE = \dfrac{OF}{SF} = \dfrac{2}{3\sqrt5}.\]
По теореме косинусов в треугольнике \(MFQ\):
\[MQ^2 = MF^2 + QF^2 - 2\cdot MF\cdot QF\cdot\cos\angle MFQ = \dfrac{405}{16} + 9 - 2\cdot\dfrac{9\sqrt5}{4}\cdot 3\cdot\dfrac{2}{3\sqrt5} = \dfrac{405}{16} + 9 - 9 = \dfrac{405}{16}.\]
\[MQ = \dfrac{9\sqrt5}{4} = MF.\]
Пункт б, шаг 3. Угол
Треугольник \(QMF\) оказался равнобедренным: \(MQ = MF = \dfrac{9\sqrt5}{4}\), а основание \(QF = 3\). Высота из вершины \(M\) делит основание пополам, поэтому
\[\sin\dfrac{\varphi}{2} = \dfrac{QF/2}{MF} = \dfrac{3/2}{\dfrac{9\sqrt5}{4}} = \dfrac32\cdot\dfrac{4}{9\sqrt5} = \dfrac{2}{3\sqrt5}.\]
\[\varphi = 2\arcsin\dfrac{2}{3\sqrt5}.\]
Важно! Тот же ответ можно записать через косинус: \(\cos\varphi = 1 - 2\sin^2\frac{\varphi}{2} = 1 - 2\cdot\frac{4}{45} = \frac{37}{45}\), то есть \(\varphi = \arccos\frac{37}{45}\). Обе записи верны — если в ответе на сайте стоит одна, а у вас получилась другая, сначала проверьте их на совпадение, а не переделывайте решение.
Ответ: \(2\arcsin\dfrac{2}{3\sqrt5}\)