В основании треугольной призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит равнобедренный прямоугольный треугольник с прямым углом \(B\). Катеты и высота призмы равны \(6\). На рёбрах \(AA_1\) и \(CC_1\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причём \(AM = 2\), \(CN = 1\).
а) Докажите, что плоскость \(MNB_1\) разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра \(MNBB_1\).
Сначала общие величины
Основание — прямоугольный треугольник с катетами \(6\) и \(6\):
\[S_{ABC} = \dfrac12\cdot 6\cdot 6 = 18,\qquad V_{\text{призмы}} = S_{ABC}\cdot AA_1 = 18\cdot 6 = 108.\]
Сечение — треугольник \(MB_1N\): отрезок \(MB_1\) лежит в грани \(ABB_1A_1\), отрезок \(B_1N\) — в грани \(BCC_1B_1\), отрезок \(NM\) — в грани \(ACC_1A_1\).
Пункт а. Считаем нижний кусок
Нижний многогранник ограничен основанием \(ABC\), тремя кусками боковых граней и сечением. Его «боковые рёбра» равны \(AM = 2\), \(BB_1 = 6\), \(CN = 1\) и все перпендикулярны основанию. Разрежем его на простые части.
Часть 1 — призма высоты 1. Проведём через точку \(N\) плоскость, параллельную основанию. Она отсекает снизу призму высотой \(1\) (ниже неё боковые грани ещё не срезаны):
\[V_1 = 18\cdot 1 = 18.\]
Пусть \(A'\) и \(B'\) — точки этой плоскости на рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\). Над ней остаётся многогранник с вершинами \(A'\), \(B'\), \(N\), \(M\), \(B_1\).
Часть 2 — тетраэдр \(A'B'NM\). Основание \(A'B'N\) равно треугольнику \(ABC\), то есть его площадь \(18\). Вершина \(M\) находится над этой плоскостью на высоте \(AM - 1 = 1\):
\[V_2 = \dfrac13\cdot 18\cdot 1 = 6.\]
Часть 3 — тетраэдр \(B'NB_1M\). Все три точки \(B'\), \(N\), \(B_1\) лежат в грани \(BCC_1B_1\). В этой грани \(B'N = BC = 6\) и \(B'B_1 = 6 - 1 = 5\), причём угол при \(B'\) прямой:
\[S_{B'NB_1} = \dfrac12\cdot 6\cdot 5 = 15.\]
Так как \(\angle B = 90^\circ\), то \(BA \perp BC\), а также \(BA \perp BB_1\), значит \(BA \perp (BCC_1B_1)\). Точка \(M\) лежит на прямой \(AA_1\), параллельной этой грани, поэтому расстояние от \(M\) до грани равно \(AB = 6\):
\[V_3 = \dfrac13\cdot 15\cdot 6 = 30.\]
Складываем:
\[V_{\text{низ}} = 18 + 6 + 30 = 54 = \dfrac{108}{2}.\]
Значит верхний кусок тоже равен \(54\), и объёмы частей равны.
Важно! Этот же ответ даёт «формула усечённой призмы»: \(V = S\cdot\dfrac{AM + BB_1 + CN}{3} = 18\cdot\dfrac{2+6+1}{3} = 54\). Формулу удобно помнить для проверки, но на экзамене надёжнее показать разрезание — за ссылку на неизвестную школьному курсу формулу могут снять балл.
Пункт б. Объём тетраэдра MNBB₁
Возьмём за основание треугольник \(BB_1M\) — он лежит в грани \(ABB_1A_1\).
Его сторона \(BB_1 = 6\). Высота, опущенная на \(BB_1\) из точки \(M\), равна расстоянию между параллельными прямыми \(BB_1\) и \(AA_1\), то есть равна \(AB = 6\) (боковые рёбра перпендикулярны основанию, поэтому \(AB\) — общий перпендикуляр):
\[S_{BB_1M} = \dfrac12\cdot 6\cdot 6 = 18.\]
Четвёртая вершина — точка \(N\). Её расстояние до плоскости \(ABB_1A_1\) мы уже посчитали в пункте а): \(BC \perp (ABB_1A_1)\), а \(N\) лежит на \(CC_1\), поэтому
\[\rho\big(N, (ABB_1A_1)\big) = BC = 6.\]
\[V_{MNBB_1} = \dfrac13\cdot S_{BB_1M}\cdot \rho = \dfrac13\cdot 18\cdot 6 = 36.\]
Важно! Обратите внимание: в ответ не вошли ни \(AM = 2\), ни \(CN = 1\). И это правильно: площадь треугольника \(BB_1M\) не зависит от того, где именно на \(AA_1\) стоит точка \(M\) (основание \(BB_1\) и высота \(AB\) фиксированы), а расстояние от \(N\) до грани одинаково для всех точек ребра \(CC_1\).
Ответ: \(36\)