Пункт а. Стороны квадрата параллельны рёбрам

Обозначим плоскость квадрата через \(\beta\). У квадрата противоположные стороны параллельны:

\[KL \parallel MN,\qquad LM \parallel NK.\]

Докажем, что \(KL \parallel CD\). Сторона \(KL\) лежит в грани \(ACD\), а прямая \(CD\) — тоже в этой грани. Предположим, что они не параллельны; тогда они пересекаются в некоторой точке \(X\).

Точка \(X\) лежит на прямой \(KL\), значит \(X \in \beta\). Кроме того \(X\) лежит на прямой \(CD\), значит \(X\) лежит и в грани \(BCD\). Но плоскость \(\beta\) пересекает грань \(BCD\) по стороне \(MN\), поэтому \(X \in MN\).

Получается, что \(X\) — общая точка прямых \(KL\) и \(MN\), а они параллельны. Противоречие. Значит

\[KL \parallel CD.\]

Важно! Этот приём «от противного через общую точку» — рабочий способ доказать, что сторона сечения параллельна ребру, когда про саму плоскость сечения ничего заранее не известно. Запомните схему: предположили пересечение → нашли точку сразу на двух параллельных прямых → противоречие.

Точно так же доказывается, что \(LM \parallel AB\): сторона \(LM\) лежит в грани \(ABD\), сторона \(NK\) — в грани \(ABC\), эти грани пересекаются по прямой \(AB\), а \(LM \parallel NK\).

Осталось соединить: в квадрате соседние стороны перпендикулярны, \(KL \perp LM\). Так как \(KL \parallel CD\) и \(LM \parallel AB\), получаем

\[AB \perp CD.\]

Пункт б, шаг 1. Находим рёбра AB и CD

В треугольнике \(ACD\) прямая \(KL\) параллельна \(CD\), поэтому

\[\dfrac{KL}{CD} = \dfrac{AK}{AC} = \dfrac{2}{2+3} = \dfrac25,\qquad 2 = \dfrac25\,CD\ \Longrightarrow\ CD = 5.\]

Из той же параллельности \(\dfrac{AL}{AD} = \dfrac{AK}{AC} = \dfrac25\), значит \(\dfrac{DL}{DA} = \dfrac35\). Теперь в треугольнике \(ABD\) прямая \(LM\) параллельна \(AB\):

\[\dfrac{LM}{AB} = \dfrac{DL}{DA} = \dfrac35,\qquad 2 = \dfrac35\,AB\ \Longrightarrow\ AB = \dfrac{10}{3}.\]

Важно! Коэффициенты подобия разные: для \(KL\) он отсчитан от вершины \(A\) (\(\frac25\)), а для \(LM\) — от вершины \(D\) (\(\frac35\)). Если взять один и тот же коэффициент дважды, ответ развалится.

Пункт б, шаг 2. Куда девается расстояние

Плоскость \(\beta\) параллельна прямой \(AB\) (в ней лежит прямая \(LM \parallel AB\)) и параллельна прямой \(CD\). Поэтому расстояние от точки \(B\) до \(\beta\) — это расстояние от всей прямой \(AB\) до \(\beta\).

Пусть \(d\) — расстояние между прямыми \(AB\) и \(CD\), то есть длина их общего перпендикуляра. Этот перпендикуляр перпендикулярен обеим прямым, а значит и плоскости \(\beta\) (она параллельна обеим). Плоскость \(\beta\) пересекает его и делит на две части:

\[\rho(AB,\beta) + \rho(CD,\beta) = d.\]

Отрезок \(AC\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(K\), поэтому расстояния от \(A\) и от \(C\) до \(\beta\) относятся как \(AK : KC = 2 : 3\). Но расстояние от \(A\) — это и есть \(\rho(AB,\beta)\), а расстояние от \(C\) — это \(\rho(CD,\beta)\). Значит

\[\rho(B,\beta) = \dfrac{2}{5}\,d.\]

Пункт б, шаг 3. Находим d из объёма

Для тетраэдра, у которого рёбра \(AB\) и \(CD\) перпендикулярны, объём считается по формуле

\[V = \dfrac16\,AB\cdot CD\cdot d.\]

Важно! Откуда формула. Достроим тетраэдр до параллелепипеда: через каждое ребро проведём плоскость, параллельную противоположному ребру. Рёбра тетраэдра станут диагоналями граней, а сам тетраэдр получится из параллелепипеда отсечением четырёх угловых тетраэдров, каждый объёмом \(\frac16\) параллелепипеда, поэтому \(V_{\text{тетр}} = \frac13 V_{\text{пар}}\). Две противоположные грани параллелепипеда содержат \(AB\) и \(CD\) как диагонали; расстояние между ними равно \(d\), а площадь каждой — \(\frac12\,AB\cdot CD\) (диагонали перпендикулярны). Отсюда \(V_{\text{пар}} = \frac12 AB\cdot CD\cdot d\) и \(V = \frac16 AB\cdot CD\cdot d\).

Подставляем:

\[25 = \dfrac16\cdot\dfrac{10}{3}\cdot 5\cdot d = \dfrac{25}{9}\,d \ \Longrightarrow\ d = 9.\]

\[\rho(B,\beta) = \dfrac25\cdot 9 = 3{,}6.\]

Ответ: \(3{,}6\)