В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\), \(B\) и \(C\), а на окружности другого основания — точка \(C_1\), причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а \(AC\) — диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB = 45^\circ\), \(AB = 2\sqrt3\), \(CC_1 = 2\sqrt6\).
а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC\) равен \(60^\circ\).
б) Найдите расстояние от точки \(B\) до прямой \(AC_1\).
Пункт а, шаг 1. Разбираемся с основанием
Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной окружности, причём \(AC\) — диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
\[\angle ABC = 90^\circ.\]
Значит треугольник \(ABC\) прямоугольный, а угол при вершине \(C\) равен \(45^\circ\) — такой треугольник равнобедренный:
\[BC = AB = 2\sqrt3,\qquad AC = AB\sqrt2 = 2\sqrt3\cdot\sqrt2 = 2\sqrt6.\]
Пункт а, шаг 2. Переносим прямую BC к точке A
Прямые \(AC_1\) и \(BC\) скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми ищут так: одну из них параллельно переносят к точке, лежащей на другой.
Пусть \(D\) — точка окружности, диаметрально противоположная \(B\). Тогда у четырёхугольника \(ABCD\) обе диагонали \(AC\) и \(BD\) — диаметры: они равны и точкой пересечения делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и делятся пополам, — прямоугольник. Значит
\[AD \parallel BC,\qquad AD = BC.\]
Остаётся найти угол \(C_1AD\).
Важно! Вписанный прямоугольник \(ABCD\) — не случайная выдумка, а стандартный приём: если в условии есть диаметр и точка окружности, почти всегда полезно достроить диаметрально противоположную точку.
Пункт а, шаг 3. Треугольник ADC₁ прямоугольный
Угол при вершине \(D\) прямой:
\(AD \perp DC\) — угол прямоугольника \(ABCD\);
\(AD \perp CC_1\) — образующая перпендикулярна плоскости основания, а \(AD\) лежит
в этой плоскости.
\[AD \perp (DCC_1)\ \Longrightarrow\ AD \perp DC_1.\]
Длина \(AC_1\) считается из прямоугольного треугольника \(ACC_1\):
\[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{24 + 24} = \sqrt{48} = 4\sqrt3.\]
В прямоугольном треугольнике \(ADC_1\):
\[\cos\angle DAC_1 = \dfrac{AD}{AC_1} = \dfrac{2\sqrt3}{4\sqrt3} = \dfrac12 \ \Longrightarrow\ \angle DAC_1 = 60^\circ.\]
Пункт б. Треугольник ABC₁ — прямоугольный
Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Опустим из \(B\) перпендикуляр \(BH\) на прямую \(AC_1\) и будем искать \(BH\).
Сначала докажем, что треугольник \(ABC_1\) прямоугольный:
\(AB \perp BC\) — это доказанный в пункте а) прямой угол \(ABC\);
\(AB \perp CC_1\) — образующая перпендикулярна плоскости основания.
Прямые \(BC\) и \(CC_1\) пересекаются в точке \(C\) и задают плоскость \((BCC_1)\), поэтому
\[AB \perp (BCC_1)\ \Longrightarrow\ AB \perp BC_1.\]
Находим второй катет (треугольник \(BCC_1\) прямоугольный, так как \(CC_1 \perp BC\)):
\[BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{12 + 24} = \sqrt{36} = 6.\]
Проверим себя: \(AB^2 + BC_1^2 = 12 + 36 = 48\), и \(AC_1^2 = (4\sqrt3)^2 = 48\) — сходится, гипотенуза \(AC_1\) на месте.
Высота к гипотенузе
Площадь прямоугольного треугольника \(ABC_1\) можно посчитать двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой:
\[\dfrac12\,AB\cdot BC_1 = \dfrac12\,AC_1\cdot BH.\]
\[BH = \dfrac{AB\cdot BC_1}{AC_1} = \dfrac{2\sqrt3\cdot 6}{4\sqrt3} = \dfrac{12\sqrt3}{4\sqrt3} = 3.\]
Важно! Формула «высота к гипотенузе = произведение катетов, делённое на гипотенузу» — следствие двух записей площади. Её стоит знать наизусть: в №14 она встречается постоянно.
Ответ: \(3\)