В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\) и \(B\), а на окружности другого основания — точки \(B_1\) и \(C_1\), причём \(BB_1\) — образующая цилиндра, а отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра.
а) Докажите, что угол \(ABC_1\) прямой.
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если \(AB = 20\), \(BB_1 = 15\), \(B_1C_1 = 21\).
Пункт а, шаг 1. A₁C₁ — диаметр верхнего основания
Отметим точку \(A_1\) верхнего основания, лежащую над \(A\) (то есть \(AA_1\) — образующая).
Отрезок \(AC_1\) пересекает ось цилиндра, значит прямая \(AC_1\) и ось лежат в одной плоскости; обозначим её \(\beta\). Эта плоскость содержит ось, а ось перпендикулярна основаниям, поэтому \(\beta\) пересекает каждое основание по прямой, проходящей через его центр, то есть по диаметру.
Прямая \(AA_1\) параллельна оси (обе перпендикулярны основаниям) и проходит через точку \(A \in \beta\), значит \(AA_1\) целиком лежит в \(\beta\), и потому \(A_1 \in \beta\).
Итак, точки \(A_1\) и \(C_1\) лежат в плоскости \(\beta\) и на окружности верхнего основания, а \(\beta\) пересекает это основание по диаметру. Значит
\[A_1C_1 \text{ — диаметр верхнего основания.}\]
Важно! Фраза «отрезок пересекает ось» — это и есть ключ ко всей задаче. Из неё следует, что \(A\) и \(C_1\) лежат «по разные стороны» цилиндра, и над \(A\) получается конец диаметра.
Пункт а, шаг 2. Цепочка перпендикулярностей
Точка \(B_1\) лежит на окружности верхнего основания, а \(A_1C_1\) — его диаметр, поэтому вписанный угол прямой:
\[\angle A_1B_1C_1 = 90^\circ,\qquad\text{то есть}\qquad B_1C_1 \perp A_1B_1.\]
Кроме того, \(BB_1\) — образующая, она перпендикулярна плоскости верхнего основания, а \(B_1C_1\) лежит в этой плоскости, поэтому \(B_1C_1 \perp BB_1\).
Прямая \(B_1C_1\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(A_1B_1\) и \(BB_1\) плоскости \((ABB_1A_1)\), значит
\[B_1C_1 \perp (ABB_1A_1)\ \Longrightarrow\ B_1C_1 \perp AB.\]
Теперь повторим приём ещё раз. Мы знаем, что
\(AB \perp B_1C_1\) — только что доказано;
\(AB \perp BB_1\) — образующая перпендикулярна плоскости нижнего основания, а
\(AB\) лежит в ней.
Прямые \(B_1C_1\) и \(BB_1\) пересекаются в точке \(B_1\) и задают плоскость \((BB_1C_1)\), поэтому
\[AB \perp (BB_1C_1)\ \Longrightarrow\ AB \perp BC_1,\]
то есть угол \(ABC_1\) прямой.
Важно! Признак перпендикулярности прямой и плоскости здесь применён дважды подряд: сначала чтобы «спустить» перпендикулярность с \(A_1B_1\) на \(AB\), потом чтобы «перевести» её с \(B_1C_1\) на \(BC_1\). Это типовая связка для задач про цилиндр.
Пункт б. Радиус и площадь
Четырёхугольник \(ABB_1A_1\) — прямоугольник: \(AA_1\) и \(BB_1\) — образующие, они параллельны, равны и перпендикулярны основаниям. Значит
\[A_1B_1 = AB = 20.\]
В прямоугольном треугольнике \(A_1B_1C_1\) (прямой угол при \(B_1\)):
\[A_1C_1 = \sqrt{A_1B_1^2 + B_1C_1^2} = \sqrt{400 + 441} = \sqrt{841} = 29.\]
Это диаметр, поэтому \(R = \dfrac{29}{2} = 14{,}5\). Высота цилиндра равна образующей: \(H = BB_1 = 15\). Остаётся формула боковой поверхности:
\[S_{\text{бок}} = 2\pi R H = 2\pi\cdot 14{,}5\cdot 15 = 435\pi.\]
Важно! Тройка \(20,\ 21,\ 29\) — пифагорова. Полезно держать в голове набор: \(3{-}4{-}5\), \(5{-}12{-}13\), \(8{-}15{-}17\), \(7{-}24{-}25\), \(20{-}21{-}29\). На экзамене это экономит минуту и спасает от арифметической ошибки.
Ответ: \(435\pi\)