В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки \(A\), \(B\) и \(C\), а на окружности другого основания — точка \(C_1\), причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а \(AC\) — диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB = 30^\circ\), \(AB = 1\), \(CC_1 = 2\sqrt2\).
а) Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и \(BC\) равен \(60^\circ\).
б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Пункт а, шаг 1. Разбираемся с основанием
Точки \(A\), \(B\), \(C\) лежат на одной окружности, причём \(AC\) — диаметр. Вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой:
\[\angle ABC = 90^\circ.\]
В прямоугольном треугольнике \(ABC\) катет \(AB = 1\) лежит против угла \(30^\circ\), а против угла \(30^\circ\) лежит катет, вдвое меньший гипотенузы:
\[AC = 2\,AB = 2,\qquad BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{4 - 1} = \sqrt3.\]
Заодно получили радиус основания: \(R = \dfrac{AC}{2} = 1\).
Пункт а, шаг 2. Переносим прямую BC к точке A
Прямые \(AC_1\) и \(BC\) скрещиваются. Угол между скрещивающимися прямыми ищут так: одну из них параллельно переносят к точке, лежащей на другой.
Пусть \(D\) — точка окружности, диаметрально противоположная \(B\). Тогда у четырёхугольника \(ABCD\) обе диагонали \(AC\) и \(BD\) — диаметры: они равны и точкой пересечения делятся пополам. Четырёхугольник, у которого диагонали равны и делятся пополам, — прямоугольник. Значит
\[AD \parallel BC,\qquad AD = BC.\]
Остаётся найти угол \(C_1AD\).
Важно! Вписанный прямоугольник \(ABCD\) — не случайная выдумка, а стандартный приём: если в условии есть диаметр и точка окружности, почти всегда полезно достроить диаметрально противоположную точку.
Пункт а, шаг 3. Треугольник ADC₁ прямоугольный
Разберёмся с углом при вершине \(D\):
\(AD \perp DC\) — это угол прямоугольника \(ABCD\);
\(AD \perp CC_1\) — образующая \(CC_1\) перпендикулярна плоскости основания, а
\(AD\) лежит в этой плоскости.
Прямая \(AD\) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \(DC\) и \(CC_1\) плоскости \((DCC_1)\), значит
\[AD \perp (DCC_1)\ \Longrightarrow\ AD \perp DC_1.\]
Теперь найдём \(AC_1\). Образующая \(CC_1\) перпендикулярна основанию, поэтому треугольник \(ACC_1\) прямоугольный:
\[AC_1 = \sqrt{AC^2 + CC_1^2} = \sqrt{4 + 8} = \sqrt{12} = 2\sqrt3.\]
В прямоугольном треугольнике \(ADC_1\) (прямой угол при \(D\)):
\[\cos\angle DAC_1 = \dfrac{AD}{AC_1} = \dfrac{\sqrt3}{2\sqrt3} = \dfrac12 \ \Longrightarrow\ \angle DAC_1 = 60^\circ.\]
Важно! Угол между прямыми по определению не превосходит \(90^\circ\). Если бы косинус получился отрицательным, нужно было бы взять смежный угол — а \(\frac12 > 0\), значит \(60^\circ\) и есть ответ.
Пункт б. Площадь боковой поверхности
Боковая поверхность цилиндра — это прямоугольник со сторонами \(2\pi R\) (длина окружности основания) и \(H\) (высота):
\[S_{\text{бок}} = 2\pi R H.\]
Высота цилиндра равна образующей: \(H = CC_1 = 2\sqrt2\). Радиус мы уже нашли: \(R = 1\). Значит
\[S_{\text{бок}} = 2\pi\cdot 1\cdot 2\sqrt2 = 4\sqrt2\,\pi.\]
Важно! Самая обидная ошибка здесь — подставить в формулу диаметр вместо радиуса. В условии дан диаметр \(AC = 2\), а в формулу идёт \(R = 1\).
Ответ: \(4\sqrt2\,\pi\)