В прямоугольном параллелепипеде \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известны длины рёбер: \(AB = 6\sqrt2\), \(AD = 10\), \(AA_1 = 16\). На рёбрах \(AA_1\) и \(BB_1\) отмечены точки \(E\) и \(F\) соответственно, причём \(A_1E : EA = 5 : 3\) и \(B_1F : FB = 5 : 11\). Точка \(T\) — середина ребра \(B_1C_1\).
а) Докажите, что плоскость \(EFT\) проходит через точку \(D_1\).
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью \(EFT\).
Пункт а. Раскладываем условие по рёбрам
Все боковые рёбра равны \(16\). Делим их в указанных отношениях:
\[A_1E = 16\cdot\dfrac{5}{5+3} = 10,\qquad EA = 6;\]
\[B_1F = 16\cdot\dfrac{5}{5+11} = 5,\qquad FB = 11.\]
Кроме того \(B_1C_1 = BC = AD = 10\), и так как \(T\) — середина, \(B_1T = 5\).
Главная идея: параллельные грани
Посмотрим на грань \(BB_1C_1C\) — это прямоугольник. В нём \(B_1F = B_1T = 5\), а угол при вершине \(B_1\) прямой. Значит треугольник \(FB_1T\) — прямоугольный равнобедренный, и прямая \(FT\) наклонена под углом \(45^\circ\): по пути от \(F\) к \(T\) она смещается в сторону ребра \(CC_1\) на \(5\) и на столько же — на \(5\) — поднимается вверх.
Грани \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\) параллельны. Плоскость \(EFT\) пересекает вторую из них по прямой \(FT\), а значит первую она пересекает по прямой, параллельной \(FT\) и проходящей через точку \(E\).
Проведём в грани \(AA_1D_1D\) через точку \(E\) прямую под тем же углом \(45^\circ\) — в сторону ребра \(DD_1\). Пройдя по горизонтали расстояние \(AD = 10\), она поднимется тоже на \(10\), то есть окажется на высоте
\[AE + 10 = 6 + 10 = 16 = AA_1.\]
Высота \(16\) над точкой \(D\) — это ровно вершина \(D_1\). Значит прямая попадает в \(D_1\), и точка \(D_1\) лежит в плоскости \(EFT\).
Важно! Приём «параллельные грани — параллельные следы» закрывает почти любое сечение призмы. Главное не перепутать, какие грани параллельны: здесь это \(AA_1D_1D\) и \(BB_1C_1C\), а вовсе не \(ABB_1A_1\) и \(DCC_1D_1\), хотя те тоже параллельны между собой.
Пункт б. Сечение — равнобедренная трапеция
Сечение — четырёхугольник \(EFTD_1\). Его стороны \(FT\) и \(ED_1\) лежат в параллельных гранях, значит \(FT \parallel ED_1\), и это трапеция.
Основания. \(FT\) — гипотенуза прямоугольного равнобедренного треугольника с катетами \(5\):
\[FT = 5\sqrt2.\]
\(ED_1\) считаем в грани \(AA_1D_1D\): опустим из \(D_1\) перпендикуляр \(D_1G\) на ребро \(AA_1\). Тогда \(D_1G = AD = 10\), а \(G\) — точка на высоте \(16\), поэтому \(EG = 16 - 6 = 10\):
\[ED_1 = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt2.\]
Боковые стороны. Сторона \(EF\) лежит в грани \(ABB_1A_1\). Точки \(E\) и \(F\) находятся на высотах \(6\) и \(11\), расстояние между рёбрами \(AA_1\) и \(BB_1\) равно \(AB = 6\sqrt2\):
\[EF = \sqrt{AB^2 + (11-6)^2} = \sqrt{72 + 25} = \sqrt{97}.\]
Сторона \(TD_1\) лежит в верхней грани \(A_1B_1C_1D_1\). В прямоугольнике \(A_1B_1C_1D_1\): \(D_1C_1 = A_1B_1 = 6\sqrt2\), \(C_1T = \frac12 B_1C_1 = 5\), угол при вершине \(C_1\) прямой:
\[TD_1 = \sqrt{(6\sqrt2)^2 + 5^2} = \sqrt{72 + 25} = \sqrt{97}.\]
Боковые стороны равны — трапеция равнобедренная.
Высота трапеции и площадь
У равнобедренной трапеции с основаниями \(a = 5\sqrt2\) и \(b = 10\sqrt2\) высота, опущенная из конца меньшего основания, отсекает на большем основании отрезок
\[\dfrac{b-a}{2} = \dfrac{10\sqrt2 - 5\sqrt2}{2} = \dfrac{5\sqrt2}{2}.\]
По теореме Пифагора
\[h = \sqrt{97 - \left(\dfrac{5\sqrt2}{2}\right)^2} = \sqrt{97 - \dfrac{50}{4}} = \sqrt{\dfrac{169}{2}} = \dfrac{13}{\sqrt2} = \dfrac{13\sqrt2}{2}.\]
Площадь трапеции:
\[S = \dfrac{a+b}{2}\cdot h = \dfrac{5\sqrt2 + 10\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{13\sqrt2}{2} = \dfrac{15\sqrt2}{2}\cdot\dfrac{13\sqrt2}{2} = \dfrac{15\cdot 13\cdot 2}{4} = 97{,}5.\]
Важно! Все пять длин (\(FT\), \(ED_1\), \(EF\), \(TD_1\), \(h\)) мы считали внутри граней, то есть в настоящих прямоугольниках. По объёмному чертежу длины мерить нельзя — там всё искажено.
Ответ: \(97{,}5\)