Пункт а. Почему сечение — треугольник

Соединим три данные точки. Отрезок \(A_1B\) лежит в грани \(ABB_1A_1\), отрезок \(BM\) — в грани \(BCC_1B_1\), отрезок \(MA_1\) — в грани \(ACC_1A_1\). Все три отрезка целиком лежат на поверхности призмы, значит сечение — именно треугольник \(A_1BM\).

Теперь докажем, что он равнобедренный. Сравним два прямоугольных треугольника: \(BCM\) и \(A_1C_1M\).

Призма правильная, поэтому боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Значит \(CC_1 \perp CB\) и \(CC_1 \perp C_1A_1\) — оба треугольника прямоугольные:

\(CM = MC_1\), так как \(M\) — середина ребра \(CC_1\);
\(CB = C_1A_1\), так как оба равны стороне основания (основания — равные правильные
треугольники).

Треугольники равны по двум катетам, значит равны и гипотенузы:

\[BM = A_1M.\]

Треугольник \(A_1BM\) равнобедренный с основанием \(A_1B\).

Важно! Опора всего доказательства — перпендикулярность бокового ребра основанию. Именно она даёт прямые углы при вершинах \(C\) и \(C_1\). В наклонной призме это рассуждение не сработало бы.

Пункт б. Высота треугольника-сечения

Пусть \(K\) — середина \(A_1B\). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому

\[MK \perp A_1B,\qquad S_{A_1BM} = \dfrac12\,A_1B\cdot MK.\]

Главный трюк — найти \(MK\). Обозначим высоту призмы \(h = AA_1\) и отметим середину \(P\) ребра \(AB\), а также середину \(P_1\) ребра \(A_1B_1\).

Точка \(M\) — середина \(CC_1\), значит она находится на высоте \(\frac h2\) над точкой \(C\).

Точка \(K\) — середина отрезка \(A_1B\). Конец \(A_1\) находится на высоте \(h\) (над точкой \(A\)), конец \(B\) — на высоте \(0\). Значит середина \(K\) находится на высоте \(\frac h2\), причём ровно над серединой отрезка \(AB\), то есть над точкой \(P\).

Обе точки \(M\) и \(K\) лежат на одной высоте \(\frac h2\), поэтому отрезок \(MK\) параллелен плоскости основания, а его длина равна длине отрезка \(PC\):

\[MK = PC.\]

Важно! Это и есть ключ к задаче: длина \(MK\) вообще не зависит от высоты призмы. Если пытаться искать \(MK\) «в лоб» через теорему косинусов в треугольнике \(A_1BM\), вычисления разрастаются втрое.

Отрезок \(PC\) — медиана (и высота) правильного треугольника \(ABC\) со стороной \(2\):

\[MK = PC = 2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = \sqrt3.\]

Находим высоту призмы

Подставляем в площадь:

\[6 = \dfrac12\,A_1B\cdot\sqrt3\ \Longrightarrow\ A_1B = \dfrac{12}{\sqrt3} = 4\sqrt3.\]

Отрезок \(A_1B\) — гипотенуза прямоугольного треугольника \(A_1AB\), в котором \(AA_1 \perp AB\):

\[A_1B^2 = AA_1^2 + AB^2,\qquad 48 = h^2 + 4,\qquad h^2 = 44.\]

\[h = \sqrt{44} = 2\sqrt{11}.\]

Важно! Проверка «на здравый смысл»: \(2\sqrt{11}\approx 6{,}6\) — призма получается высокой и узкой (сторона основания всего \(2\)). Это нормально: площадь сечения \(6\) при такой узкой подошве и вправду требует большой высоты.

Ответ: \(2\sqrt{11}\)