Пункт а. Где плоскость пересекает верхнее основание

Обозначим \(AA_1 = m\). Тогда \(AB = 3m\), \(AD = 2m\). Ребро \(CD\) равно \(AB\), то есть \(CD = 3m\), а по условию \(CN = 2ND\), значит

\[CN = 2m,\qquad ND = m.\]

Точки \(A\) и \(N\) лежат в плоскости нижнего основания, поэтому прямая \(AN\) — это линия пересечения плоскости \(\alpha\) с плоскостью \(ABCD\).

Плоскости оснований \(ABCD\) и \(A_1B_1C_1D_1\) параллельны. Плоскость \(\alpha\) пересекает обе, а две параллельные плоскости третья плоскость пересекает по параллельным прямым. Значит верхнее основание плоскость \(\alpha\) пересекает по прямой, которая проходит через \(C_1\) параллельно \(AN\). Пусть эта прямая пересекает ребро \(A_1B_1\) в точке \(P\).

Важно! «Две параллельные плоскости пересекаются третьей по параллельным прямым» — главный инструмент построения сечений призм и параллелепипедов. Если забыть про него, то приходится мучительно искать точку \(P\) наугад.

Считаем отношение в нижнем основании

Верхнее основание — точная копия нижнего, сдвинутая вверх на \(AA_1\). Поэтому достаточно разобраться с картинкой внизу: проведём через точку \(C\) прямую, параллельную \(AN\), и пусть она пересечёт \(AB\) в точке \(P_0\). Тогда \(P\) лежит ровно над \(P_0\).

В четырёхугольнике \(ANCP_0\):

\(AN \parallel P_0C\) — по построению;
\(AP_0 \parallel NC\) — потому что \(AP_0\) лежит на прямой \(AB\), \(NC\) лежит на
прямой \(DC\), а \(AB \parallel DC\).

Значит \(ANCP_0\) — параллелограмм, и противоположные стороны у него равны:

\[AP_0 = NC = 2m.\]

Тогда \(P_0B = AB - AP_0 = 3m - 2m = m\), и

\[A_1P : PB_1 = AP_0 : P_0B = 2m : m = 2 : 1.\]

Пункт б. Сечение — ромб

При \(AA_1 = 1\) получаем \(AB = 3\), \(AD = 2\), \(CN = 2\), \(ND = 1\), \(A_1P = 2\), \(PB_1 = 1\).

Сечение — четырёхугольник \(ANC_1P\). Его стороны \(AN\) и \(PC_1\) параллельны (это те самые параллельные следы в двух основаниях) и равны (\(PC_1 = P_0C = AN\) как противоположные стороны параллелограмма \(ANCP_0\)), значит \(ANC_1P\) — параллелограмм.

Теперь длины. В треугольнике \(ADN\) угол \(D\) прямой (углы прямоугольника):

\[AN = \sqrt{AD^2 + DN^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5.\]

В треугольнике \(AA_1P\) угол \(A_1\) прямой (боковое ребро перпендикулярно основанию):

\[AP = \sqrt{AA_1^2 + A_1P^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5.\]

У параллелограмма две соседние стороны оказались равны — значит это ромб.

Важно! Как только сечение опознано как ромб, площадь считается через диагонали: \(S = \frac12 d_1 d_2\). Это намного быстрее, чем искать угол между сторонами и синус.

Диагонали ромба

Первая диагональ — пространственная диагональ параллелепипеда:

\[AC_1 = \sqrt{AB^2 + AD^2 + AA_1^2} = \sqrt{9 + 4 + 1} = \sqrt{14}.\]

Вторая диагональ — отрезок \(NP\). Опустим \(P\) на нижнее основание, получим точку \(P_0\) (при этом \(PP_0 = AA_1 = 1\), а \(AP_0 = 2\)). Сначала найдём \(NP_0\) в основании: опустим из \(N\) перпендикуляр \(NH\) на \(AB\). Тогда \(AH = DN = 1\), \(NH = AD = 2\), и значит \(HP_0 = AP_0 - AH = 2 - 1 = 1\):

\[NP_0 = \sqrt{NH^2 + HP_0^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt5.\]

Отрезок \(PP_0\) перпендикулярен основанию, поэтому

\[NP = \sqrt{NP_0^2 + PP_0^2} = \sqrt{5 + 1} = \sqrt6.\]

Остаётся площадь:

\[S = \dfrac12\,AC_1\cdot NP = \dfrac12\cdot\sqrt{14}\cdot\sqrt6 = \dfrac12\,\sqrt{84} = \dfrac12\cdot 2\sqrt{21} = \sqrt{21}.\]

Важно! Формула \(S = \frac12 d_1 d_2\) работает только для ромба (и вообще для четырёхугольника с перпендикулярными диагоналями). Для обычного параллелограмма она неверна — сначала обязательно убедитесь, что стороны равны.

Ответ: \(\sqrt{21}\)