Пункт а. Строим четвёртую вершину сечения

Обозначим секущую плоскость \(\beta\).

Шаг 1. Ловим параллельность. В треугольнике \(SAD\) точки \(M\) и \(P\) — середины сторон \(SA\) и \(AD\), поэтому \(MP\) — средняя линия:

\[MP \parallel SD,\qquad MP = \dfrac{SD}{2} = 3.\]

Прямая \(SD\) не лежит в \(\beta\), а параллельная ей прямая \(MP\) лежит, значит \(SD \parallel \beta\).

Шаг 2. Ищем след в основании. Прямые \(PC\) и \(BD\) лежат в плоскости основания и не параллельны, пусть \(X\) — их точка пересечения.

Так как \(AD \parallel BC\), отрезок \(DP\) параллелен \(BC\), и треугольники \(XDP\) и \(XBC\) подобны по двум углам. Отсюда

\[\dfrac{DX}{XB} = \dfrac{DP}{BC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac12.\]

Значит \(BX : BD = 2 : 3\).

Важно! Точка \(X\) — это «след» секущей плоскости: она лежит и в \(\beta\) (потому что лежит на прямой \(PC\)), и в плоскости \((SBD)\) (потому что лежит на прямой \(BD\)). Именно через такие следы и строятся сечения, когда вершины сечения на разных рёбрах напрямую соединить нельзя.

Шаг 3. Находим N. Плоскости \(\beta\) и \((SBD)\) пересекаются по прямой, проходящей через точку \(X\). Плоскость \((SBD)\) содержит прямую \(SD\), а \(SD \parallel \beta\), поэтому линия их пересечения параллельна \(SD\).

Проведём в треугольнике \(SBD\) через точку \(X\) прямую, параллельную \(SD\). Она пересекает сторону \(SB\) в точке \(N\), и по теореме о пропорциональных отрезках

\[\dfrac{BN}{BS} = \dfrac{BX}{BD} = \dfrac23\ \Longrightarrow\ SN : NB = 1 : 2.\]

Итак, сечение — четырёхугольник \(PMNC\).

Пункт б. Находим все стороны сечения

Разложим пирамиду на отдельные треугольники и посчитаем длины по частям.

\(PM\). Уже найдено: это средняя линия треугольника \(SAD\), \(PM = 3\).

\(PC\). В основании угол \(D\) прямой, \(PD = 3\), \(DC = 6\):

\[PC = \sqrt{PD^2 + DC^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt5.\]

\(MC\). Рассмотрим треугольник \(SAC\): \(SA = SC = 6\), а \(AC\) — диагональ основания, \(AC = 6\sqrt2\). Отрезок \(CM\) — медиана этого треугольника, проведённая из вершины \(C\). По формуле медианы

\[CM^2 = \dfrac{2\,CS^2 + 2\,CA^2 - SA^2}{4} = \dfrac{2\cdot 36 + 2\cdot 72 - 36}{4} = \dfrac{180}{4} = 45,\qquad CM = 3\sqrt5.\]

\(MN\). Треугольник \(SAB\) равносторонний со стороной \(6\), угол при вершине \(S\) равен \(60^\circ\); \(SM = 3\), \(SN = \frac13\,SB = 2\). По теореме косинусов

\[MN^2 = 9 + 4 - 2\cdot 3\cdot 2\cdot\dfrac12 = 7,\qquad MN = \sqrt7.\]

\(NC\). Треугольник \(SBC\) тоже равносторонний со стороной \(6\); \(NB = \frac23\,SB = 4\), \(BC = 6\), угол при вершине \(B\) равен \(60^\circ\):

\[NC^2 = 16 + 36 - 2\cdot 4\cdot 6\cdot\dfrac12 = 28,\qquad NC = 2\sqrt7.\]

Важно! Все длины считаются в настоящих, неискажённых треугольниках — \(SAD\), \(PDC\), \(SAC\), \(SAB\), \(SBC\). По рисунку сечения длины мерить нельзя: на чертеже оно изображено с искажением.

Считаем площадь

Проведём диагональ \(MC = 3\sqrt5\) и разобьём сечение на два треугольника.

Треугольник \(PMC\). В нём \(PC = MC = 3\sqrt5\), то есть он равнобедренный с основанием \(PM = 3\). Высота, опущенная на основание, попадает в его середину:

\[h = \sqrt{(3\sqrt5)^2 - \left(\dfrac32\right)^2} = \sqrt{45 - \dfrac94} = \sqrt{\dfrac{171}{4}} = \dfrac{3\sqrt{19}}{2}.\]

\[S_{PMC} = \dfrac12\cdot PM\cdot h = \dfrac12\cdot 3\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{2} = \dfrac{9\sqrt{19}}{4}.\]

Треугольник \(MNC\). Здесь \(MN = \sqrt7\), \(NC = 2\sqrt7\), \(MC = 3\sqrt5\). По теореме косинусов для угла при вершине \(N\):

\[\cos\angle MNC = \dfrac{7 + 28 - 45}{2\cdot\sqrt7\cdot 2\sqrt7} = \dfrac{-10}{28} = -\dfrac{5}{14}.\]

\[\sin\angle MNC = \sqrt{1 - \dfrac{25}{196}} = \sqrt{\dfrac{171}{196}} = \dfrac{3\sqrt{19}}{14}.\]

\[S_{MNC} = \dfrac12\cdot MN\cdot NC\cdot\sin\angle MNC = \dfrac12\cdot\sqrt7\cdot 2\sqrt7\cdot\dfrac{3\sqrt{19}}{14} = \dfrac{3\sqrt{19}}{2} = \dfrac{6\sqrt{19}}{4}.\]

Важно! Косинус получился отрицательным — значит угол \(MNC\) тупой. Это нормально и не ошибка: синус всё равно положительный, и формула площади работает. Пугаться минуса и «исправлять» его на плюс нельзя.

Складываем:

\[S = \dfrac{9\sqrt{19}}{4} + \dfrac{6\sqrt{19}}{4} = \dfrac{15\sqrt{19}}{4}.\]

Ответ: \(\dfrac{15\sqrt{19}}{4}\)