В правильной четырёхугольной пирамиде \(SABCD\) все рёбра равны \(4\). Точка \(M\) — середина ребра \(SC\), точка \(K\) лежит на ребре \(BC\), причём \(BK : KC = 3 : 1\).
а) Докажите, что прямые \(MK\) и \(BC\) перпендикулярны.
б) Найдите расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\).
Пункт а. Спускаем точку M на основание
Пусть \(O\) — центр квадрата \(ABCD\). Пирамида правильная, значит \(SO\) — её высота: \(SO \perp (ABCD)\).
Пусть \(M_1\) — проекция точки \(M\) на плоскость основания. Проекция вершины \(S\) — это \(O\), проекция вершины \(C\) — сама точка \(C\), а \(M\) — середина \(SC\), поэтому
\[M_1 \text{ — середина отрезка } OC.\]
Теперь работаем в плоскости основания.
Пусть \(F\) — середина стороны \(BC\). Отрезок \(OF\) соединяет центр квадрата с серединой стороны, поэтому
\[OF \perp BC,\qquad OF = \dfrac{AB}{2} = 2.\]
По условию \(BK : KC = 3 : 1\) и \(BC = 4\), значит \(BK = 3\), \(KC = 1\). А так как \(FC = 2\), точка \(K\) — середина отрезка \(FC\).
Посмотрим на треугольник \(OFC\): точка \(M_1\) — середина стороны \(OC\), точка \(K\) — середина стороны \(FC\). Значит \(M_1K\) — средняя линия:
\[M_1K \parallel OF,\qquad M_1K = \dfrac{OF}{2} = 1.\]
Из \(OF \perp BC\) следует \(M_1K \perp BC\).
Осталось подняться обратно в пространство. Отрезок \(MK\) — наклонная к плоскости основания, \(M_1K\) — её проекция, и эта проекция перпендикулярна прямой \(BC\), лежащей в плоскости основания. По теореме о трёх перпендикулярах
\[MK \perp BC.\]
Важно! Теорема о трёх перпендикулярах работает в обе стороны: наклонная перпендикулярна прямой в плоскости тогда и только тогда, когда её проекция перпендикулярна этой прямой. Почти все задачи «докажите, что две прямые перпендикулярны» решаются именно так — спускаем наклонную на плоскость и смотрим на проекцию.
Пункт б. Считаем длину MK
Так как \(MK \perp BC\), расстояние от точки \(M\) до прямой \(BC\) — это в точности длина отрезка \(MK\).
Сначала высота пирамиды. Диагональ основания \(AC = 4\sqrt2\), значит \(OC = 2\sqrt2\). Из прямоугольного треугольника \(SOC\):
\[SO = \sqrt{SC^2 - OC^2} = \sqrt{16 - 8} = 2\sqrt2.\]
В треугольнике \(SOC\) отрезок \(MM_1\) соединяет середину \(SC\) с серединой \(OC\), то есть это средняя линия:
\[MM_1 = \dfrac{SO}{2} = \sqrt2.\]
Отрезок \(MM_1\) перпендикулярен плоскости основания, значит треугольник \(MM_1K\) прямоугольный с прямым углом при вершине \(M_1\). По теореме Пифагора
\[MK = \sqrt{MM_1^2 + M_1K^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt3.\]
Важно! В пирамиде, у которой все рёбра равны, высота всегда равна половине диагонали основания: \(SO = OC\). Это удобный ориентир — если у вас получилось иначе, где-то ошибка в арифметике.
Ответ: \(\sqrt3\)