Пункт а, шаг 1. Сечение — параллелограмм

Обозначим секущую плоскость через \(\beta\). Разберём её пересечение с каждой гранью.

Грань \(ACD\) содержит прямую \(AC\), а \(AC \parallel \beta\). Плоскость \(\beta\) проходит через точку \(T\) этой грани, значит она пересекает грань по прямой, параллельной \(AC\). Эта прямая пересекает ребро \(CD\) в некоторой точке \(P\):

\[TP \parallel AC.\]

Важно! Работает лемма: если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\), а плоскость \(\gamma\) содержит \(a\) и пересекает \(\beta\) по прямой \(b\), то \(a \parallel b\). Без ссылки на неё параллельность сторон сечения считается недоказанной.

Точно так же:

грань \(ABD\) содержит \(BD\), поэтому \(\beta\) пересекает её по прямой
\(TQ \parallel BD\), где \(Q\) — точка на ребре \(AB\);
грань \(ABC\) содержит \(AC\), поэтому \(QR \parallel AC\), где \(R\) — точка на
ребре \(BC\);
грань \(BCD\) содержит \(BD\), поэтому \(RP \parallel BD\).

Итак, в четырёхугольнике \(TQRP\) противоположные стороны попарно параллельны (\(TP \parallel QR\) и \(TQ \parallel RP\)) — это параллелограмм.

Пункт а, шаг 2. Рёбра AC и BD перпендикулярны

Пусть \(M\) — середина ребра \(AC\).

Треугольник \(ABC\) правильный, значит \(BA = BC\) и медиана \(BM\) является высотой: \(BM \perp AC\).

Пирамида правильная, значит \(DA = DC\), треугольник \(ADC\) равнобедренный и его медиана \(DM\) тоже высота: \(DM \perp AC\).

Две пересекающиеся прямые \(BM\) и \(DM\) перпендикулярны \(AC\), обе лежат в плоскости \((BDM)\), поэтому

\[AC \perp (BDM)\ \Longrightarrow\ AC \perp BD.\]

Сторона \(TQ\) параллельна \(BD\), сторона \(TP\) параллельна \(AC\), значит угол между ними прямой. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Важно! Перпендикулярность \(AC \perp BD\) в правильной пирамиде кажется очевидной по рисунку, но на экзамене её нужно именно доказать — через две высоты равнобедренных треугольников. Без этого пункт а) не засчитают.

Пункт б. Длины сторон прямоугольника

Сначала сторона \(TQ\). Она лежит в треугольнике \(ABD\) и параллельна \(BD\), поэтому треугольники \(ATQ\) и \(ADB\) подобны с коэффициентом

\[\dfrac{AT}{AD} = \dfrac{1}{1+2} = \dfrac13,\qquad TQ = \dfrac13\,BD = \dfrac13\cdot 9 = 3.\]

Теперь сторона \(TP\). Она лежит в треугольнике \(ACD\) и параллельна \(AC\), но здесь отсчёт идёт от вершины \(D\):

\[\dfrac{DT}{DA} = \dfrac{2}{1+2} = \dfrac23,\qquad TP = \dfrac23\,AC = \dfrac23\cdot 5 = \dfrac{10}{3}.\]

Важно! Самая частая ошибка в этой задаче — взять коэффициент \(\frac13\) оба раза. Следите, от какой вершины «растёт» отрезок: \(TQ\) отходит от \(A\), а \(TP\) — от стороны \(D\). Проверка: при \(T \to A\) отрезок \(TQ\) стягивается в точку, а \(TP\) превращается в целое ребро \(AC\).

Площадь прямоугольника:

\[S = TQ\cdot TP = 3\cdot\dfrac{10}{3} = 10.\]

Ответ: \(10\)