Пункт а. Стороны сечения параллельны рёбрам

Разберём стороны сечения по одной. Точки \(K\) и \(N\) лежат на рёбрах \(AC\) и \(BC\), то есть обе лежат в плоскости \((ABC)\); кроме того, обе лежат в \(\beta\). Значит \(KN\) — это линия пересечения плоскостей \(\beta\) и \((ABC)\).

Плоскость \((ABC)\) содержит прямую \(AB\), а \(AB \parallel \beta\). По лемме о параллельности

\[KN \parallel AB.\]

Важно! Лемма звучит так: если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\), а плоскость \(\gamma\) содержит \(a\) и пересекает \(\beta\) по прямой \(b\), то \(a \parallel b\). Ссылка на неё обязательна — без неё параллельность сторон сечения считается недоказанной.

Точно так же разбираем остальные три стороны:

в плоскости \((ABD)\): \(LM \parallel AB\);
в плоскости \((ACD)\): \(KL \parallel CD\);
в плоскости \((BCD)\): \(MN \parallel CD\).

Получается \(KN \parallel LM\) (обе параллельны \(AB\)) и \(KL \parallel MN\) (обе параллельны \(CD\)), то есть \(KLMN\) — параллелограмм.

Наконец, по условию \(AB \perp CD\). Сторона \(KN\) параллельна \(AB\), сторона \(KL\) параллельна \(CD\), значит угол между ними прямой. Параллелограмм с прямым углом — прямоугольник.

Пункт б. Находим, где именно проходит плоскость

Вся работа — в плоскости \((ACD)\): именно там видно, как сторона \(KL\) связана с ребром \(CD\). Обозначим \(\dfrac{AK}{AC} = t\). В треугольнике \(ACD\) прямая \(KL\) параллельна \(CD\), поэтому по теореме о пропорциональных отрезках

\[\dfrac{AK}{AC} = \dfrac{AL}{AD} = t,\qquad KL = t\cdot CD = 5t.\]

Посмотрим теперь на треугольник \(ABD\) со стороны вершины \(D\): точка \(L\) делит \(AD\) так, что \(\dfrac{DL}{DA} = 1 - t\), и \(LM \parallel AB\), поэтому

\[LM = (1 - t)\cdot AB = (1 - t)\cdot\dfrac{10}{3}.\]

Квадрат — это прямоугольник с равными сторонами, значит \(KL = LM\):

\[5t = \dfrac{10}{3}\,(1 - t).\]

Умножим обе части на \(3\): \(15t = 10 - 10t\), откуда \(25t = 10\) и

\[t = \dfrac{2}{5},\qquad KL = 5\cdot\dfrac25 = 2.\]

Итак, \(AK : AC = 2 : 5\), то есть \(AK : KC = 2 : 3\) — на выносном рисунке эти части подписаны как \(2x\) и \(3x\).

Делим расстояние 9 в нужном отношении

Пусть \(PQ\) — общий перпендикуляр прямых \(AB\) и \(CD\) (\(P\) на \(AB\), \(Q\) на \(CD\)), его длина равна \(9\). Плоскость \(\beta\) параллельна двум непараллельным прямым \(AB\) и \(CD\), а \(PQ\) перпендикулярен им обеим, поэтому \(PQ \perp \beta\). Значит \(\beta\) пересекает отрезок \(PQ\) в некоторой точке \(R\), и

\[\rho(A, \beta) = PR,\qquad \rho(C, \beta) = RQ,\qquad PR + RQ = 9.\]

Важно! Расстояние от точки \(A\) до \(\beta\) совпадает с расстоянием от всей прямой \(AB\) до \(\beta\) — ведь \(AB \parallel \beta\). Точно так же расстояние от \(C\) равно расстоянию от прямой \(CD\). Поэтому и получается, что две части в сумме дают все \(9\).

Осталось понять, в каком отношении точка \(R\) делит отрезок \(PQ\). Отрезок \(AC\) пересекает плоскость \(\beta\) в точке \(K\), значит \(A\) и \(C\) лежат по разные стороны от \(\beta\), а перпендикуляры, опущенные из \(A\) и из \(C\) на \(\beta\), дают два подобных прямоугольных треугольника с общей вершиной \(K\). Отсюда

\[\dfrac{\rho(A, \beta)}{\rho(C, \beta)} = \dfrac{AK}{KC} = \dfrac23.\]

Делим \(9\) в отношении \(2 : 3\):

\[\rho(A, \beta) = 9\cdot\dfrac{2}{5} = 3{,}6,\qquad \rho(C, \beta) = 9\cdot\dfrac{3}{5} = \dfrac{27}{5} = 5{,}4.\]

Важно! Проверка на месте: \(3{,}6 + 5{,}4 = 9\) — ровно расстояние между \(AB\) и \(CD\). Если сумма двух кусков не даёт исходное расстояние, значит отношение перепутано местами.

Ответ: \(\dfrac{27}{5} = 5{,}4\)