Пункт а. Ловим перпендикулярность

Пусть \(M\) — середина ребра \(BC\). Проведём отрезки \(AM\) и \(DM\).

Первый перпендикуляр. Треугольник \(ABC\) правильный, значит \(AB = AC\) и медиана \(AM\) является высотой:

\[AM \perp BC.\]

Второй перпендикуляр. По условию \(DB = DC\), значит треугольник \(DBC\) равнобедренный и его медиана \(DM\) тоже является высотой:

\[DM \perp BC.\]

Получили две пересекающиеся прямые \(AM\) и \(DM\) (они пересекаются в точке \(M\)), обе перпендикулярны \(BC\) и обе лежат в плоскости \((ADM)\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости

\[BC \perp (ADM).\]

Прямая \(AD\) лежит в плоскости \((ADM)\), а прямая, перпендикулярная плоскости, перпендикулярна каждой прямой этой плоскости. Значит \(AD \perp BC\).

Важно! В признаке перпендикулярности прямой и плоскости нужны именно две пересекающиеся прямые. Если взять две параллельные — признак не работает, и доказательство не засчитают.

Пункт б. Что считать расстоянием

Прямые \(AD\) и \(BC\) скрещиваются, значит расстояние между ними — это длина их общего перпендикуляра: отрезка, который упирается в обе прямые и перпендикулярен обеим.

Построим его. В плоскости \((ADM)\) опустим из точки \(M\) перпендикуляр \(MH\) на прямую \(AD\). Тогда:

\(MH \perp AD\) — по построению, и \(MH\) упирается в \(AD\) в точке \(H\);
\(MH\) лежит в плоскости \((ADM)\), а \(BC \perp (ADM)\), поэтому \(MH \perp BC\),
и \(MH\) упирается в \(BC\) в точке \(M\).

Значит \(MH\) — общий перпендикуляр, и искомое расстояние равно \(MH\).

Важно! Общий перпендикуляр обязан пересекать обе прямые. Просто «перпендикулярный обеим» отрезок где-то в пространстве расстоянием не является — за это снимают баллы.

Считаем стороны треугольника ADM

\(AM\) — высота правильного треугольника со стороной \(6\):

\[AM = 6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3.\]

\(DM\) — высота равнобедренного треугольника \(DBC\), в котором \(DB = DC = 10\), \(BC = 6\), а \(BM = MC = 3\). По теореме Пифагора в треугольнике \(DMB\):

\[DM = \sqrt{DB^2 - BM^2} = \sqrt{100 - 9} = \sqrt{91}.\]

Третья сторона известна из условия: \(AD = 10\).

По теореме косинусов находим угол при вершине \(A\):

\[\cos\angle DAM = \dfrac{AM^2 + AD^2 - DM^2}{2\cdot AM\cdot AD} = \dfrac{27 + 100 - 91}{2\cdot 3\sqrt3\cdot 10} = \dfrac{36}{60\sqrt3} = \dfrac{3}{5\sqrt3} = \dfrac{\sqrt3}{5}.\]

Косинус положительный, значит угол \(DAM\) острый и точка \(H\) попадает внутрь отрезка \(AD\) — картинка нарисована верно. Находим синус:

\[\sin\angle DAM = \sqrt{1 - \dfrac{3}{25}} = \sqrt{\dfrac{22}{25}} = \dfrac{\sqrt{22}}{5}.\]

Теперь \(MH\) — катет прямоугольного треугольника \(AHM\), лежащий против угла \(A\):

\[MH = AM\cdot\sin\angle DAM = 3\sqrt3\cdot\dfrac{\sqrt{22}}{5} = \dfrac{3\sqrt{66}}{5}.\]

Важно! Тот же ответ даёт «площадной» приём: площадь треугольника \(ADM\) можно посчитать двумя способами — \(S = \frac12\,AM\cdot AD\cdot\sin A\) и \(S = \frac12\,AD\cdot MH\). Приравняв их, сразу получаем \(MH = AM\cdot\sin A\), минуя лишние вычисления.

Ответ: \(\dfrac{3\sqrt{66}}{5}\)