Пункт а. Что такое «след» плоскости α

Пусть \(O\) — центр основания (точка пересечения медиан треугольника \(ABC\)), а \(SO\) — высота пирамиды. Обозначим через \(\ell\) прямую, по которой плоскость \(\alpha\) пересекает плоскость основания, — это след плоскости \(\alpha\).

Сначала поймём направление следа. \(MN\) — средняя линия треугольника \(SAB\), поэтому \(MN \parallel AB\). Прямая \(AB\) лежит в плоскости основания, а \(MN\) — нет, значит \(MN \parallel (ABC)\). Плоскость \(\alpha\) содержит \(MN\) и пересекает плоскость основания по прямой \(\ell\), а в такой ситуации прямая обязана быть параллельна линии пересечения:

\[\ell \parallel MN \parallel AB.\]

Важно! Здесь работает лемма: если прямая \(a\) параллельна плоскости \(\beta\), а плоскость \(\gamma\) содержит \(a\) и пересекает \(\beta\) по прямой \(b\), то \(a \parallel b\). Это главный инструмент во всех задачах на сечения, параллельные какому-нибудь ребру.

Где именно проходит след

Плоскость \(\alpha\) перпендикулярна основанию, поэтому проекция любой точки плоскости \(\alpha\) на основание снова лежит в \(\alpha\), то есть попадает на след \(\ell\). Спроектируем точку \(M\).

Проекция вершины \(S\) — это точка \(O\), проекция точки \(A\) — сама точка \(A\). Точка \(M\) — середина \(SA\), значит её проекция \(M_1\) — середина отрезка \(OA\). Итак, след \(\ell\) проходит через середину отрезка \(OA\) параллельно \(AB\).

Важно! Частая ошибка — провести след через саму точку \(M\). Точка \(M\) не лежит в плоскости основания, в основании лежит только её проекция.

Считаем отношение на медиане CE

Треугольник \(ABC\) правильный со стороной \(30\), поэтому его медиана \(CE\) одновременно является высотой:

\[CE \perp AB,\qquad CE = 30\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 15\sqrt3.\]

Точка \(O\) делит медиану в отношении \(2 : 1\) от вершины, значит расстояние от \(O\) до прямой \(AB\) равно

\[OE = \dfrac13\,CE = 5\sqrt3.\]

Точка \(A\) лежит на прямой \(AB\), её расстояние до \(AB\) равно нулю. Точка \(M_1\) — середина \(OA\), поэтому её расстояние до \(AB\) — это полусумма расстояний от \(O\) и от \(A\):

\[\rho(M_1, AB) = \dfrac{5\sqrt3 + 0}{2} = 2{,}5\sqrt3.\]

След \(\ell\) параллелен \(AB\) и проходит через \(M_1\), значит все его точки удалены от \(AB\) ровно на \(2{,}5\sqrt3\). Пусть \(P = \ell \cap CE\). Так как \(CE \perp AB\), расстояние от \(P\) до \(AB\) — это просто длина отрезка \(PE\):

\[PE = 2{,}5\sqrt3,\qquad CP = CE - PE = 15\sqrt3 - 2{,}5\sqrt3 = 12{,}5\sqrt3.\]

\[\dfrac{CP}{PE} = \dfrac{12{,}5\sqrt3}{2{,}5\sqrt3} = \dfrac51.\]

Отношение \(5 : 1\), считая от вершины \(C\), доказано.

Пункт б. Расстояние от A до плоскости α

Опустим в плоскости основания перпендикуляр \(AF\) на прямую \(\ell\).

Плоскости \(\alpha\) и \((ABC)\) перпендикулярны и пересекаются по прямой \(\ell\). Отрезок \(AF\) лежит в плоскости \((ABC)\) и перпендикулярен линии пересечения \(\ell\), а по свойству перпендикулярных плоскостей такой отрезок перпендикулярен и всей плоскости \(\alpha\):

\[AF \perp \alpha.\]

Значит \(AF\) — и есть искомое расстояние от точки \(A\) до плоскости \(\alpha\).

Важно! Если две плоскости перпендикулярны, то перпендикуляр к одной из них можно строить, не выходя из другой: достаточно опустить его на линию пересечения. Это экономит кучу времени — не нужно «ловить» перпендикуляр в пространстве.

Осталось найти длину \(AF\). Прямая \(\ell\) параллельна \(AB\), а расстояние между этими параллельными прямыми мы уже посчитали: оно равно \(2{,}5\sqrt3\). Точка \(A\) лежит на прямой \(AB\), поэтому

\[AF = 2{,}5\sqrt3 = \dfrac{5\sqrt3}{2}.\]

Ответ: \(\dfrac{5\sqrt3}{2} = 2{,}5\sqrt3\)