Пункт а. Средняя линия и свойство шестиугольника

\(M\) и \(K\) — середины сторон \(SA\) и \(SD\) треугольника \(SAD\), значит \(MK\) — его средняя линия:

\[MK \parallel AD.\]

В правильном шестиугольнике \(ABCDEF\) отрезок \(AD\) — большая диагональ, она проходит через центр \(O\). Сторона \(BC\) ей параллельна: шестиугольник центрально-симметричен, и каждая сторона параллельна той большой диагонали, которая её «перешагивает». Проверить можно и напрямую — вписанный шестиугольник разбивается на шесть правильных треугольников, и \(BC\) параллельна \(AO\), то есть \(AD\).

Из \(MK \parallel AD\) и \(AD \parallel BC\) следует \(MK \parallel BC\).

Пункт б. Что за угол задан

Плоскость \((BMC)\) проходит через сторону основания \(BC\), значит она пересекает плоскость основания ровно по прямой \(BC\). Линейный угол двугранного угла надо строить в точке на \(BC\), проводя перпендикуляры к \(BC\) в каждой из плоскостей.

Пусть \(O\) — центр основания, \(M_1\) — проекция точки \(M\) на плоскость основания. Точка \(M\) — середина \(SA\), а проекции точек \(S\) и \(A\) — это \(O\) и \(A\), поэтому

\[M_1\ —\ \text{середина } OA,\qquad MM_1 = \dfrac{SO}{2}.\]

Ключевой факт: M₁B ⊥ BC

Посмотрим на основание. Треугольник \(OAB\) правильный со стороной \(6\) (у правильного шестиугольника радиус описанной окружности равен стороне). \(M_1\) — середина \(OA\), значит \(BM_1\) — его медиана, а в правильном треугольнике медиана является и высотой:

\[BM_1 \perp OA,\qquad BM_1 = 6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3.\]

Но \(OA\) лежит на прямой \(AD\), а \(AD \parallel BC\). Значит \(BM_1 \perp BC\).

Важно! Перпендикуляр к \(BC\) получился сам собой и попал точно в вершину \(B\) — это и есть «подарок» условия. Если бы \(M_1B\) не было перпендикулярно \(BC\), пришлось бы отдельно строить основание перпендикуляра, и решение стало бы вдвое длиннее. Всегда проверяйте, не окажется ли нужный перпендикуляр уже готовым.

Итак, \(MB \perp BC\) (по теореме о трёх перпендикулярах) и \(M_1B \perp BC\), значит \(\angle MBM_1\) — линейный угол искомого двугранного угла:

\[\angle MBM_1 = 60^\circ.\]

Находим высоту

Треугольник \(MBM_1\) прямоугольный с прямым углом при \(M_1\):

\[\operatorname{tg}60^\circ = \dfrac{MM_1}{BM_1},\qquad \sqrt3 = \dfrac{MM_1}{3\sqrt3},\qquad MM_1 = 9.\]

(Заодно: \(SO = 2\,MM_1 = 18\) — высота всей пирамиды.)

Объём пирамиды MABF

У пирамиды \(MABF\) основание — треугольник \(ABF\) в плоскости основания, а вершина \(M\) находится над ним на высоте \(MM_1 = 9\).

Считаем площадь \(ABF\). Точки \(B\) и \(F\) симметричны относительно прямой \(AD\), поэтому \(BF \perp AD\). Длина \(BF\) — это малая диагональ шестиугольника:

\[BF = 6\sqrt3.\]

Расстояние от \(A\) до прямой \(BF\) равно \(AM_1 + M_1\cdots\) — проще так: \(BF\) пересекает \(AD\) как раз в точке \(M_1\) (середине \(OA\)), поэтому высота треугольника \(ABF\), опущенная на \(BF\), равна \(AM_1 = 3\).

\[S_{ABF} = \dfrac12\cdot BF\cdot AM_1 = \dfrac12\cdot 6\sqrt3\cdot 3 = 9\sqrt3.\]

\[V_{MABF} = \dfrac13\,S_{ABF}\cdot MM_1 = \dfrac13\cdot 9\sqrt3\cdot 9 = 27\sqrt3.\]

Важно! Высота пирамиды \(MABF\) — это расстояние от \(M\) до плоскости основания, то есть именно \(MM_1 = 9\), а не высота всей пирамиды \(SO = 18\). Подставить сюда \(18\) — самая частая ошибка в этой задаче.

Ответ: б) \(27\sqrt3\)