Пункт а. Строим вспомогательную плоскость

Пусть \(L\) — середина ребра \(CD\). Рассмотрим плоскость \((MKL)\).

Первая пара. \(M\) и \(L\) — середины противоположных сторон \(AB\) и \(CD\) квадрата, поэтому \(ML \parallel BC\) (отрезок \(ML\) параллелен сторонам \(AD\) и \(BC\)). А \(BC\) лежит в плоскости \((SBC)\), значит \(ML \parallel (SBC)\).

Вторая пара. \(K\) и \(L\) — середины сторон \(SD\) и \(CD\) треугольника \(SDC\), то есть \(KL\) — средняя линия и \(KL \parallel SC\). Прямая \(SC\) лежит в плоскости \((SBC)\), значит \(KL \parallel (SBC)\).

Две пересекающиеся прямые \(ML\) и \(KL\) плоскости \((MKL)\) параллельны плоскости \((SBC)\) — следовательно, вся плоскость \((MKL)\) параллельна \((SBC)\). Прямая \(MK\) лежит в \((MKL)\), значит и она параллельна \((SBC)\).

Важно! Чтобы доказать параллельность прямой и плоскости, достаточно найти в плоскости одну параллельную ей прямую. Но здесь проще построить целую параллельную плоскость — и для этого нужны уже две пересекающиеся прямые. Не перепутайте эти два признака.

Пункт б. Проекция отрезка MK на основание

Пусть \(O\) — центр основания; \(SO\) — высота пирамиды. Обозначим \(K_1\) — проекцию точки \(K\) на плоскость основания.

Точка \(K\) — середина \(SD\), а проекции концов \(S\) и \(D\) — это \(O\) и \(D\). Значит \(K_1\) — середина отрезка \(OD\), а высота точки \(K\) над основанием равна половине высоты пирамиды:

\[KK_1 = \dfrac{SO}{2}.\]

Точка \(M\) лежит в основании, поэтому проекция прямой \(MK\) на основание — это прямая \(MK_1\), и искомый угол — это \(\angle KMK_1 = 30^\circ\).

Длина MK₁ — работаем в плоскости основания

Введём координаты на квадрате: \(A(0;0)\), \(B(24;0)\), \(C(24;24)\), \(D(0;24)\). Тогда \(O(12;12)\), \(M(12;0)\) — середина \(AB\), а \(K_1\) — середина \(OD\):

\[K_1\left(\dfrac{12+0}{2};\ \dfrac{12+24}{2}\right) = K_1(6;\ 18).\]

\[MK_1 = \sqrt{(12-6)^2 + (0-18)^2} = \sqrt{36 + 324} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10}.\]

Важно! Координаты вводим только в плоскости основания — это обычная планиметрия, никакого «метода координат в пространстве» писать не нужно. Такой приём экономит кучу времени на задачах с правильной пирамидой.

Находим высоту

Треугольник \(MK_1K\) прямоугольный (угол при \(K_1\) прямой: \(KK_1\) — перпендикуляр к основанию). Значит

\[\operatorname{tg}30^\circ = \dfrac{KK_1}{MK_1},\qquad \dfrac{1}{\sqrt3} = \dfrac{SO/2}{6\sqrt{10}},\]

\[\dfrac{SO}{2} = \dfrac{6\sqrt{10}}{\sqrt3} = 2\sqrt{30},\qquad SO = 4\sqrt{30}.\]

Ответ: б) \(4\sqrt{30}\)