Пункт а. Отношение объёмов

Плоскость \((CMK)\) отсекает от тетраэдра пирамиду \(AMKC\) — у неё та же вершина \(C\), что и у исходного тетраэдра \(ACBD\), но треугольник в основании другой: вместо \(ABD\) теперь \(AMK\).

Треугольники \(AMK\) и \(ABD\) имеют общий угол \(A\), поэтому их площади относятся как произведения прилежащих сторон:

\[\dfrac{S_{AMK}}{S_{ABD}} = \dfrac{AM\cdot AK}{AB\cdot AD} = \dfrac{6\cdot 6}{10\cdot 10} = \dfrac{9}{25}.\]

Важно! Формула \(S = \frac12\,ab\sin\alpha\) при общем угле даёт отношение площадей как произведение отношений сторон. Это рабочая лошадка всех задач «во сколько раз плоскость делит объём» — запомните её.

Высота у пирамид \(AMKC\) и \(ABDC\) общая: это расстояние от вершины \(C\) до плоскости \((ABD)\). Значит объёмы относятся так же, как площади оснований:

\[\dfrac{V_{AMKC}}{V_{ABCD}} = \dfrac{9}{25}.\]

На второй кусок остаётся \(1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}\) объёма. Отношение двух частей:

\[\dfrac{16}{25} : \dfrac{9}{25} = 16 : 9.\]

Пункт б. Готовим ключевую точку N

Так как \(AM = AK = 6\), а угол \(MAK\) — это угол грани правильного тетраэдра, то есть \(60^\circ\), треугольник \(AMK\) равносторонний:

\[MK = 6.\]

Пусть \(N\) — середина \(MK\). Тогда \(AN\) — медиана равностороннего треугольника со стороной \(6\):

\[AN = 6\cdot\dfrac{\sqrt3}{2} = 3\sqrt3,\qquad AN \perp MK.\]

Теперь найдём \(CM\) и \(CK\). В треугольнике \(ACM\): \(AC = 10\), \(AM = 6\), угол \(A\) равен \(60^\circ\). По теореме косинусов

\[CM^2 = 100 + 36 - 2\cdot 10\cdot 6\cdot\dfrac12 = 136 - 60 = 76.\]

Точно так же \(CK^2 = 76\), то есть \(CM = CK = 2\sqrt{19}\). Треугольник \(CMK\) равнобедренный, значит его медиана \(CN\) тоже перпендикулярна \(MK\):

\[CN^2 = CM^2 - MN^2 = 76 - 9 = 67,\qquad CN = \sqrt{67}.\]

Важно! Мы получили сразу два перпендикуляра к \(MK\): \(AN \perp MK\) и \(CN \perp MK\). По признаку перпендикулярности прямой и плоскости это значит \(MK \perp (ACN)\), а отсюда — плоскость \((CMK)\) перпендикулярна плоскости \((ACN)\). Эта связка «две высоты равнобедренных треугольников» — стандартный способ поймать нужную перпендикулярность.

Проекция прямой AC на плоскость сечения

Плоскости \((ACN)\) и \((CMK)\) перпендикулярны и пересекаются по прямой \(CN\). Значит перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на плоскость \((CMK)\), целиком лежит в плоскости \((ACN)\), а его основание \(H\) попадает на прямую \(CN\).

Отсюда проекцией прямой \(AC\) на плоскость \((CMK)\) служит прямая \(CN\), и искомый угол \(\varphi\) — это угол \(ACN\).

Считаем косинус

В треугольнике \(ACN\) известны все три стороны:

\[AC = 10,\qquad CN = \sqrt{67},\qquad AN = 3\sqrt3\ \ (AN^2 = 27).\]

По теореме косинусов для угла при вершине \(C\):

\[\cos\varphi = \dfrac{AC^2 + CN^2 - AN^2}{2\cdot AC\cdot CN} = \dfrac{100 + 67 - 27}{2\cdot 10\cdot\sqrt{67}} = \dfrac{140}{20\sqrt{67}} = \dfrac{7}{\sqrt{67}}.\]

Важно! Угол между прямой и плоскостью всегда острый, поэтому косинус обязан получиться положительным. Если в ответе вышел минус — значит угол взят не тот (например, посчитан угол с нормалью, а не с проекцией).

Ответ: б) \(\dfrac{7}{\sqrt{67}} = \dfrac{7\sqrt{67}}{67}\)