Найдите все значения \(a\), для каждого из которых уравнение
\[4^x + (a - 6)2^x = \left(2 + 3|a|\right)2^x + (a - 6)\left(3|a| + 2\right)\]
имеет единственное решение.
Шаг 1. Замена и группировка
Обозначим
\[t = 2^x > 0,\qquad b = 3|a| + 2.\]
Заметим, что \(4^x = t^2\), а выражение \(2 + 3|a|\) — это и есть \(b\). Уравнение принимает вид
\[t^2 + (a - 6)t = b\,t + (a - 6)\,b.\]
Переносим всё влево и группируем по парам:
\[t^2 - b\,t + (a - 6)t - (a - 6)b = 0,\]
\[t(t - b) + (a - 6)(t - b) = 0,\qquad (t - b)\left(t + a - 6\right) = 0.\]
Важно! Громоздкое выражение \(3|a| + 2\) специально повторяется в условии дважды — именно оно и выносится за скобку. Увидев в задаче одинаковый «кусок» в разных местах, обозначьте его буквой: запись сразу станет короткой.
Шаг 2. Два значения t
\[t_1 = b = 3|a| + 2;\qquad t_2 = 6 - a.\]
Каждому допустимому значению \(t > 0\) отвечает ровно один \(x = \log_2 t\), и разным \(t\) — разные \(x\). Поэтому «единственное решение уравнения» означает «единственное подходящее значение \(t\)».
Первый корень есть всегда: \(t_1 = 3|a| + 2 \ge 2 > 0\) при любом \(a\).
Второй корень существует, только если \(t_2 = 6 - a > 0\), то есть при \(a < 6\).
Шаг 3. Когда решение ровно одно
Вариантов ровно два.
Вариант А: второй корень не годится как значение \(t\).
\[6 - a \le 0 \;\Longleftrightarrow\; a \ge 6.\]
Тогда остаётся только \(t_1\) — решение единственное.
Вариант Б: корни совпали.
\[3|a| + 2 = 6 - a \;\Longleftrightarrow\; 3|a| = 4 - a.\]
Раскрываем модуль по знаку \(a\):
\[a \ge 0:\quad 3a = 4 - a \;\Longrightarrow\; a = 1\ —\ \text{подходит (}1 \ge 0\text{)};\]
\[a < 0:\quad -3a = 4 - a \;\Longrightarrow\; -2a = 4 \;\Longrightarrow\; a = -2\ —\ \text{подходит (}-2 < 0\text{)}.\]
Важно! После раскрытия модуля обязательно проверяйте, попал ли найденный корень в «свой» случай. Если бы из ветки \(a \ge 0\) вышло отрицательное число, его пришлось бы отбросить.
На рисунке это две точки пересечения «галочки» \(t = 3|a| + 2\) с прямой \(t = 6 - a\): \((-2;\,8)\) и \((1;\,5)\). Правее \(a = 6\) прямая уходит под ось — там второй корень перестаёт существовать, и серым пунктиром показан именно этот «мёртвый» участок.
Шаг 4. Проверка границы a = 6
При \(a = 6\) получаем \(t_2 = 0\), но \(2^x\) нулём не бывает — второй корень отпадает, остаётся один. Значит \(a = 6\) входит в ответ.
Ответ: \(a \in \{-2;\ 1\} \cup [6;\ +\infty)\)