Шаг 1. Переписываем всё через a

\[2a \le x \;\Longleftrightarrow\; a \le \dfrac{x}{2};\qquad x + a \le 6 \;\Longleftrightarrow\; a \le 6 - x.\]

Со вторым неравенством поступим аккуратно — соберём полный квадрат по \(x\):

\[6x > x^2 + a^2 \;\Longleftrightarrow\; x^2 - 6x + a^2 < 0 \;\Longleftrightarrow\; (x - 3)^2 + a^2 < 9.\]

Важно! Получился круг с центром \((3;\,0)\) и радиусом \(3\) в плоскости \((x;\,a)\), причём открытый — граница не входит, неравенство строгое. Увидеть окружность в выражении \(6x > x^2 + a^2\) — главный шаг задачи.

Шаг 2. Какая из двух прямых режет сильнее

Сверху область ограничивают две прямые. Сравним их на отрезке \([4;\,5]\):

\[\dfrac{x}{2}\ \text{принимает значения от } 2\ \text{до } 2{,}5;\qquad 6 - x\ \text{— от } 2\ \text{до } 1.\]

Значит \(6 - x \le \dfrac{x}{2}\) на всём отрезке (равенство только при \(x = 4\)), и верхняя граница области — прямая \(a = 6 - x\).

Шаг 3. Ищем самое «широкое» место

На отрезке область зажата между нижней полуокружностью и прямой \(a = 6 - x\):

\[-\sqrt{9 - (x-3)^2} < a \le 6 - x.\]

Верхняя граница \(6 - x\) убывает — значит максимум она даёт при \(x = 4\): \(a \le 2\).

Нижняя граница \(-\sqrt{9 - (x-3)^2}\): под корнем \(9 - (x-3)^2\) при росте \(x\) от \(4\) к \(5\) убывает (с \(8\) до \(5\)), поэтому сама граница поднимается — то есть минимальна тоже при \(x = 4\):

\[a > -\sqrt{9 - 1} = -\sqrt8 = -2\sqrt2.\]

Важно! Оба ограничения оказались самыми мягкими в одной и той же точке \(x = 4\). Значит проверять другие \(x\) не нужно: что проходит при \(x = 4\), то и есть ответ. Если бы «самые мягкие» точки у границ были разные, пришлось бы объединять по всем \(x\) отрезка.

Шаг 4. Ответ

Подставим \(x = 4\) прямо в исходную систему:

\[2a \le 4 \;\Longrightarrow\; a \le 2;\qquad 24 > 16 + a^2 \;\Longrightarrow\; a^2 < 8 \;\Longrightarrow\; |a| < 2\sqrt2;\qquad 4 + a \le 6 \;\Longrightarrow\; a \le 2.\]

Пересечение: \(-2\sqrt2 < a \le 2\) (напомним, \(2\sqrt2 \approx 2{,}83\), так что условие \(a \le 2\) жёстче, чем \(a < 2\sqrt2\)).

Ответ: \(a \in \left(-2\sqrt2;\ 2\right]\)