Что значит «хотя бы одно решение на отрезке»

Нужно, чтобы нашлось хотя бы одно число \(x\) из отрезка \([3;\,4]\), удовлетворяющее всем трём неравенствам сразу. Если такого \(x\) нет — значение \(a\) не подходит.

Важно! Это не «неравенства выполняются при всех \(x\) из отрезка». Формулировки «хотя бы при одном» и «при всех» дают противоположные ответы — читайте условие дословно.

Шаг 1. Выражаем a через x

Удобнее всего нарисовать картинку в плоскости \((x;\,a)\): тогда каждому \(a\) отвечает горизонтальная прямая, и вопрос превращается в «задевает ли эта прямая нужную область над отрезком \([3;\,4]\)».

Первое неравенство. На отрезке \(x \ge 3 > 0\), поэтому делим на \(x\) без смены знака:

\[ax \ge 2 \;\Longleftrightarrow\; a \ge \dfrac{2}{x}.\]

Второе неравенство. Корень определён (\(x \ge 3 > 1\)) и неотрицателен:

\[\sqrt{x - 1} > a \;\Longleftrightarrow\; a < \sqrt{x - 1}.\]

Третье неравенство.

\[3x \le 2a + 11 \;\Longleftrightarrow\; a \ge \dfrac{3x - 11}{2}.\]

Шаг 2. Какое из ограничений снизу главнее

Снизу область режут сразу две линии: гипербола \(a = \dfrac2x\) и прямая \(a = \dfrac{3x-11}{2}\). Сравним их на отрезке. Приравняем:

\[\dfrac{2}{x} = \dfrac{3x - 11}{2} \;\Longrightarrow\; 4 = 3x^2 - 11x \;\Longrightarrow\; 3x^2 - 11x - 4 = 0,\]

\[D = 121 + 48 = 169,\qquad x = \dfrac{11 \pm 13}{6} \;\Longrightarrow\; x = 4 \ \text{или}\ x = -\dfrac13.\]

На отрезке они встречаются ровно в точке \(x = 4\), а левее (проверим в \(x = 3{,}5\): \(\frac{2}{3{,}5} \approx 0{,}57\) против \(\frac{10{,}5-11}{2} = -0{,}25\)) гипербола выше. Значит на всём отрезке

\[\dfrac{2}{x} \ge \dfrac{3x - 11}{2},\]

и нижней границей служит именно гипербола. Третье неравенство оказалось следствием первого — но убедиться в этом нужно, а не угадать.

Шаг 3. Проекция области на ось a

Итак, область — это то, что лежит над гиперболой и строго под кривой корня, при \(3 \le x \le 4\). Обе границы монотонны, поэтому «самое широкое» место — у правого края отрезка:

\[x = 3:\quad a \in \left[\dfrac23;\ \sqrt2\right);\qquad x = 4:\quad a \in \left[\dfrac12;\ \sqrt3\right).\]

Гипербола \(\dfrac2x\) убывает, поэтому наименьшая нижняя граница достигается при \(x = 4\) и равна \(\dfrac12\). Корень \(\sqrt{x-1}\) растёт, поэтому наибольшая верхняя граница — тоже при \(x = 4\), она равна \(\sqrt3\).

Значит годится ровно то \(a\), для которого подходит \(x = 4\):

\[\dfrac12 \le a < \sqrt3.\]

Важно! Проверим, что \(x = 4\) действительно всегда годится. При \(a \ge \frac12\): \(4a \ge 2\) ✓. При \(a < \sqrt3\): \(\sqrt{4-1} = \sqrt3 > a\) ✓. Третье: \(3\cdot4 = 12 \le 2a + 11\) ⟺ \(a \ge \frac12\) ✓. Все три сошлись.

Важно! Левая граница \(\frac12\) входит (первое и третье неравенства нестрогие), правая \(\sqrt3\) — нет (второе неравенство строгое). Тип скобки целиком определяется знаком в условии.

Ответ: \(a \in \left[\dfrac12;\ \sqrt3\right)\)