Шаг 1. Разбираемся с первым неравенством

Обозначим множители:

\[A = (x-3)^2 + (y-3)^2 - 1,\qquad B = (x-1)^2 + y^2.\]

Второй множитель — сумма квадратов, он никогда не бывает отрицательным: \(B \ge 0\). Значит произведение \(A\cdot B \le 0\) возможно только в двух случаях:

\[\textbf{(1)}\ B = 0 \quad\text{или}\quad \textbf{(2)}\ B > 0\ \text{и}\ A \le 0.\]

Важно! Сумма квадратов равна нулю тогда и только тогда, когда оба слагаемых нули. Это даёт одну точку, а не линию — такие «точечные» куски множества решений легко не заметить, а здесь именно точка и делает в ответе дырку.

Случай (1). \((x-1)^2 + y^2 = 0\) даёт единственную точку \((1;\,0)\).

Случай (2). \(A \le 0\) означает

\[(x-3)^2 + (y-3)^2 \le 1\]

— это круг с центром \((3;\,3)\) и радиусом \(1\) (вместе с границей). Точка \((1;\,0)\) в него не попадает, поэтому внутри круга \(B > 0\) автоматически.

Итого множество решений первого неравенства — круг и отдельно стоящая точка.

Шаг 2. Второе уравнение

\[y = ax + 2\]

— это пучок прямых, проходящих через фиксированную точку \((0;\,2)\); параметр \(a\) задаёт наклон.

Важно! Прямая \(y = ax + 2\) никогда не бывает вертикальной. Вертикаль \(x = 0\) в пучок не входит — но она нам и не понадобится, потому что \(x=0\) не задаётся уравнением такого вида ни при каком \(a\).

Шаг 3. Когда решений нет

Система не имеет решений ровно тогда, когда прямая не задевает ни круг, ни точку.

Условие «мимо точки (1; 0)». Подставим её в уравнение прямой:

\[0 = a\cdot 1 + 2 \;\Longrightarrow\; a = -2.\]

Значит при \(a = -2\) решение есть, и это значение в ответ не идёт.

Условие «мимо круга». Прямая пересекает круг тогда и только тогда, когда расстояние от центра до прямой не больше радиуса. Запишем прямую в виде \(ax - y + 2 = 0\) и применим формулу расстояния от точки \((3;\,3)\):

\[d = \dfrac{|3a - 3 + 2|}{\sqrt{a^2 + 1}} = \dfrac{|3a - 1|}{\sqrt{a^2 + 1}}.\]

Прямая задевает круг при \(d \le 1\):

\[(3a - 1)^2 \le a^2 + 1,\qquad 9a^2 - 6a + 1 \le a^2 + 1,\qquad 8a^2 - 6a \le 0,\]

\[2a(4a - 3) \le 0 \;\Longleftrightarrow\; 0 \le a \le \dfrac34.\]

Важно! Возводить в квадрат здесь законно: обе части неравенства \(|3a-1| \le \sqrt{a^2+1}\) неотрицательны. Если бы справа могло стоять отрицательное число, такой переход был бы ошибкой.

Значит прямая проходит мимо круга при \(a < 0\) или \(a > \dfrac34\). На рисунке два крайних положения \(a = 0\) и \(a = \dfrac34\) — это касательные: в обоих случаях \(d = 1\).

Шаг 4. Собираем ответ

Берём «мимо круга» и выбрасываем \(a = -2\) («попали в точку»):

\[\left(a < 0\ \text{или}\ a > \dfrac34\right)\quad\text{и}\quad a \neq -2.\]

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -2) \cup (-2;\ 0) \cup \left(\dfrac34;\ +\infty\right)\)