Шаг 1. Замена

Заметим, что \(4^x = \left(2^x\right)^2\). Обозначим

\[t = 2^x,\qquad t > 0.\]

Важно! Условие \(t > 0\) — не формальность. Показательная функция \(2^x\) пробегает все положительные числа, причём каждое ровно один раз. Поэтому «одному корню \(x\)» в точности отвечает «одно значение \(t > 0\)»: задача про \(x\) полностью переводится в задачу про \(t\).

Уравнение принимает вид

\[t - a = \sqrt{t^2 - 3a}.\]

Шаг 2. Избавляемся от корня

Равенство \(A = \sqrt{B}\) равносильно системе

\[\begin{cases}A^2 = B,\\ A \ge 0.\end{cases}\]

(Условие \(B \ge 0\) отдельно писать не нужно: оно следует из \(B = A^2\).)

\[\begin{cases}(t - a)^2 = t^2 - 3a,\\ t - a \ge 0.\end{cases}\]

Раскрываем первое:

\[t^2 - 2at + a^2 = t^2 - 3a,\qquad -2at + a^2 + 3a = 0,\qquad 2at = a(a + 3).\]

Шаг 3. Осторожно с делением на a

Важно! Здесь нельзя просто поделить на \(2a\) — случай \(a = 0\) надо разобрать отдельно, и он оказывается ключевым.

Случай \(a = 0\). Равенство \(2at = a(a+3)\) превращается в \(0 = 0\) — оно выполняется при любом \(t\). Проверим исходное уравнение: оно принимает вид \(t = \sqrt{t^2}\), то есть \(t = |t|\), что при \(t > 0\) верно всегда. Значит подходит любой \(x\) — корней бесконечно много, единственности нет. \(a = 0\) не годится.

Случай \(a \neq 0\). Делим на \(2a\):

\[t = \dfrac{a + 3}{2}.\]

Значение \(t\) определено однозначно — значит корень будет не более одного. Остаётся выяснить, когда он вообще есть.

Шаг 4. Два условия на найденное t

\[\textbf{(1)}\quad t > 0:\qquad \dfrac{a+3}{2} > 0 \;\Longleftrightarrow\; a > -3;\]

\[\textbf{(2)}\quad t - a \ge 0:\qquad \dfrac{a+3}{2} - a \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac{3 - a}{2} \ge 0 \;\Longleftrightarrow\; a \le 3.\]

На рисунке оранжевая прямая \(t = \dfrac{a+3}{2}\) выделена сплошной там, где она одновременно лежит выше оси \(t = 0\) и не ниже синей прямой \(t = a\). Это ровно промежуток \(-3 < a \le 3\); точка \(a = 0\) на нём выколота отдельно.

Шаг 5. Ответ

Объединяя: \(-3 < a \le 3\) и \(a \neq 0\).

Важно! Проверим границы подстановкой. При \(a = 3\): \(t = 3\), левая часть \(3 - 3 = 0\), правая \(\sqrt{9 - 9} = 0\) — верно, корень \(x = \log_2 3\) есть, граница входит. При \(a = -3\): \(t = 0\), но \(2^x\) нулём не бывает — корня нет, граница не входит.

Ответ: \(a \in (-3;\ 0) \cup (0;\ 3]\)