Шаг 1. ОДЗ

Подкоренное выражение неотрицательно, аргумент логарифма строго положителен:

\[\begin{cases}7x - 4 \ge 0,\\ x^2 - 8x + 17 - a^2 > 0\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases}x \ge \dfrac47,\\ x^2 - 8x + 17 > a^2.\end{cases}\]

Важно! У корня условие нестрогое (\(\ge\)), у логарифма — строгое (\(>\)). Разница принципиальна: точка \(x = \frac47\) в ОДЗ входит и даёт корень, а точка, где аргумент логарифма равен нулю, — нет.

Шаг 2. Произведение равно нулю

Первый множитель:

\[\sqrt{7x - 4} = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac47.\]

Это число лежит на отрезке \([0;\,4]\) (\(\frac47 \approx 0{,}57\)). Но корнем оно будет только если при \(x = \frac47\) логарифм вообще определён. Подставим:

\[\left(\dfrac47\right)^2 - 8\cdot\dfrac47 + 17 - a^2 = \dfrac{16}{49} - \dfrac{224}{49} + \dfrac{833}{49} - a^2 = \dfrac{625}{49} - a^2.\]

Условие \(\dfrac{625}{49} - a^2 > 0\) равносильно

\[a^2 < \dfrac{625}{49} \;\Longleftrightarrow\; |a| < \dfrac{25}{7}.\]

Второй множитель:

\[\ln\left(x^2 - 8x + 17 - a^2\right) = 0 \;\Longrightarrow\; x^2 - 8x + 17 - a^2 = 1,\]

\[x^2 - 8x + 16 = a^2,\qquad (x - 4)^2 = a^2,\qquad x = 4 \pm |a|.\]

Эти значения автоматически проходят условие на логарифм (его аргумент там равен единице), но должны удовлетворять \(x \ge \dfrac47\).

Шаг 3. Картинка в плоскости (x; a)

Синий отрезок — корень \(x = \frac47\); он обрывается на уровнях \(a = \pm\frac{25}{7}\), где логарифм перестаёт существовать (концы выколоты). Оранжевые прямые \(a = 4 - x\) и \(a = x - 4\) — это корни \(x = 4 \pm |a|\); серым пунктиром показаны их куски при \(x < \frac47\), запрещённые ОДЗ. Пунктирная вертикаль \(x = 4\) — правый конец отрезка отбора.

Шаг 4. Считаем корни

Картинка симметрична относительно оси \(a = 0\), поэтому достаточно разобрать \(a \ge 0\) и в конце отразить. Обозначим \(t = |a|\).

Корень \(x = 4 + t\) попадает на отрезок \([0;\,4]\) только при \(t = 0\) (тогда это \(x = 4\)). При \(t > 0\) он правее четвёрки — не в счёт.

Корень \(x = 4 - t\) лежит на отрезке и проходит ОДЗ, когда

\[4 - t \ge \dfrac47 \;\Longleftrightarrow\; t \le \dfrac{24}{7}.\]

Теперь перебираем:

\[t = 0:\ \text{корни } \dfrac47\ \text{и } 4 \ —\ \textbf{два};\]

\[0 < t < \dfrac{24}{7}:\ \text{корни } \dfrac47\ \text{и } 4 - t,\ \text{они различны} \ —\ \textbf{два};\]

\[t = \dfrac{24}{7}:\ 4 - t = \dfrac47\ —\ \text{корни слились}, \ \textbf{один};\]

\[\dfrac{24}{7} < t < \dfrac{25}{7}:\ \text{второй корень вылетел из ОДЗ}, \ \text{остался } \dfrac47\ —\ \textbf{один};\]

\[t \ge \dfrac{25}{7}:\ \text{и } \dfrac47\ \text{перестал быть корнем} \ —\ \textbf{ни одного}.\]

Важно! Промежуток ответа очень узкий: \(\frac{24}{7} \approx 3{,}43\) и \(\frac{25}{7} \approx 3{,}57\). Разница всего \(\frac17\). По рисунку такую щель не разглядеть — её даёт только счёт. Рисунок нужен, чтобы понять логику, а границы считаем в столбик.

Итак, \(|a| \in \left[\dfrac{24}{7};\ \dfrac{25}{7}\right)\). Раскрываем модуль.

Ответ: \(a \in \left(-\dfrac{25}{7};\ -\dfrac{24}{7}\right] \cup \left[\dfrac{24}{7};\ \dfrac{25}{7}\right)\)