Шаг 1. ОДЗ

Под каждым логарифмом должно стоять положительное число:

\[\begin{cases}6a - x > 0,\\ 2a + 2x - 2 > 0,\\ x - a > 0\end{cases} \qquad\Longleftrightarrow\qquad \begin{cases}x < 6a,\\ x > 1 - a,\\ x > a.\end{cases}\]

Важно! ОДЗ выписываем до преобразований. В этой задаче именно оно решает всё: формально корней два, но каждый живёт только при своих значениях параметра.

Шаг 2. Выносим общий множитель

Переносим всё влево:

\[\ln(6a - x)\Big[\ln(2a + 2x - 2) - \ln(x - a)\Big] = 0.\]

Важно! Сокращать на \(\ln(6a-x)\) нельзя — он вполне может обращаться в ноль, и тогда теряется целая серия корней.

Первый множитель:

\[\ln(6a - x) = 0 \;\Longrightarrow\; 6a - x = 1 \;\Longrightarrow\; x = 6a - 1.\]

Второй множитель: логарифмы равны, значит равны аргументы:

\[2a + 2x - 2 = x - a \;\Longrightarrow\; x = 2 - 3a.\]

Шаг 3. Когда каждый корень реально существует

Корень \(x = 6a - 1\). Подставляем в ОДЗ:

\[6a - 1 < 6a\ —\ \text{верно всегда};\]

\[6a - 1 > 1 - a \;\Longrightarrow\; 7a > 2 \;\Longrightarrow\; a > \dfrac27;\]

\[6a - 1 > a \;\Longrightarrow\; a > \dfrac15.\]

Жёстче оказалось первое: корень существует при \(a > \dfrac27\).

Корень \(x = 2 - 3a\).

\[2 - 3a < 6a \;\Longrightarrow\; a > \dfrac29;\qquad 2 - 3a > 1 - a \;\Longrightarrow\; a < \dfrac12;\qquad 2 - 3a > a \;\Longrightarrow\; a < \dfrac12.\]

Корень существует при \(\dfrac29 < a < \dfrac12\).

Шаг 4. Кто попадает на отрезок [0; 1]

\[0 \le 6a - 1 \le 1 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac16 \le a \le \dfrac13;\]

\[0 \le 2 - 3a \le 1 \;\Longleftrightarrow\; \dfrac13 \le a \le \dfrac23.\]

Пересекаем с условиями существования:

\[\text{корень } 6a-1 \text{ работает при } a \in \left(\dfrac27;\ \dfrac13\right];\qquad \text{корень } 2-3a \text{ — при } a \in \left[\dfrac13;\ \dfrac12\right).\]

На рисунке каждая прямая нарисована сплошной там, где соответствующий корень проходит ОДЗ, и серым пунктиром — где не проходит. Пунктирные вертикали отмечают отрезок \([0;\,1]\).

Шаг 5. Собираем ответ

Два промежутка стыкуются в точке \(a = \dfrac13\). Проверим её отдельно: тогда \(6a - 1 = 1\) и \(2 - 3a = 1\) — корни совпали, он один. Значит \(a = \dfrac13\) подходит, и объединение получается сплошным:

\[\left(\dfrac27;\ \dfrac13\right] \cup \left[\dfrac13;\ \dfrac12\right) = \left(\dfrac27;\ \dfrac12\right).\]

Вне этого промежутка корней на отрезке нет вообще (ноль), поэтому больше ничего не добавляется.

Важно! Если бы в точке стыка корни не совпали, там было бы два корня и \(a = \dfrac13\) пришлось бы выколоть. Поэтому точку склейки всегда проверяют подстановкой, а не «на глаз».

Ответ: \(a \in \left(\dfrac27;\ \dfrac12\right)\)