Идея решения

Обозначим две «половинки» буквами: \(u = x^2 - 5\) и \(v = \ln(x-a)\). Тогда слева стоит \((u+v)^2\), а справа \(u^2 + v^2\). Квадрат суммы раскрывается, и уравнение схлопывается до простейшего.

Шаг 1. Раскрываем квадрат суммы

\[(u + v)^2 = u^2 + v^2 \;\Longleftrightarrow\; u^2 + 2uv + v^2 = u^2 + v^2 \;\Longleftrightarrow\; 2uv = 0 \;\Longleftrightarrow\; uv = 0.\]

Значит уравнение равносильно (в пределах ОДЗ) совокупности

\[x^2 - 5 = 0 \quad\text{или}\quad \ln(x - a) = 0.\]

Важно! Тождество \((u+v)^2 = u^2 + v^2\) выполняется только когда \(uv = 0\). Это не «частный случай», а полная равносильность — поэтому никаких корней мы не теряем и лишних не приобретаем.

Шаг 2. ОДЗ

Логарифм требует положительного аргумента:

\[x - a > 0,\qquad\text{то есть}\qquad x > a.\]

Других ограничений нет.

Шаг 3. Три «кандидата» в корни

\[x^2 = 5 \;\Longrightarrow\; x = \sqrt5 \approx 2{,}24\quad\text{или}\quad x = -\sqrt5 \approx -2{,}24;\]

\[\ln(x - a) = 0 \;\Longrightarrow\; x - a = 1 \;\Longrightarrow\; x = a + 1.\]

Сразу отметим: \(-\sqrt5 \approx -2{,}24\) лежит левее \(-1\), то есть никогда не попадает на отрезок \([-1;\,3]\). Про него можно забыть.

Корень \(x = a+1\) ОДЗ проходит всегда: \(a + 1 > a\) — верно при любом \(a\). А корень \(x = \sqrt5\) существует только при \(\sqrt5 > a\).

Шаг 4. Картинка в плоскости (x; a)

Нарисуем всё в системе координат, где по горизонтали \(x\), а по вертикали \(a\). Тогда каждому значению параметра отвечает горизонтальная прямая, и ответ считывается как число точек пересечения этой прямой с нарисованными линиями внутри полосы \(-1 \le x \le 3\).

Что нарисовано: штриховкой закрыта запрещённая область \(a \ge x\); синие вертикальные прямые \(x = \pm\sqrt5\) обрываются на границе ОДЗ; оранжевая прямая \(a = x - 1\) — это корень \(x = a + 1\); пунктирные вертикали отмечают отрезок \([-1;\,3]\).

Шаг 5. Считаем точки

Разберём, когда внутри полосы ровно одна точка.

1) \(a < -2\). Тогда \(a + 1 < -1\) — оранжевая точка левее отрезка. Остаётся только \(x = \sqrt5\) (он есть, ведь \(a < -2 < \sqrt5\)). Ровно один корень — подходит.

2) \(-2 \le a \le 2\). Теперь \(-1 \le a + 1 \le 3\): оранжевая точка внутри отрезка. Вместе с \(x = \sqrt5\) получается два корня — не подходит. Исключение: если они совпали.

3) \(a + 1 = \sqrt5\), то есть \(a = \sqrt5 - 1 \approx 1{,}24\). Оба корня сливаются в одну точку — корень ровно один, подходит.

4) \(2 < a < \sqrt5\). Теперь \(a + 1 > 3\) — оранжевая точка правее отрезка, а \(x = \sqrt5\) ещё существует. Ровно один корень — подходит.

5) \(a \ge \sqrt5\). Корень \(x = \sqrt5\) ОДЗ не проходит (\(\sqrt5 - a \le 0\)), а \(a + 1 \ge \sqrt5 + 1 > 3\). Корней на отрезке нет.

Важно! Случай слияния корней — самое уязвимое место таких задач. Два разных уравнения могут дать одно и то же число, и тогда «два корня» превращаются в один. Всегда проверяйте отдельно: \(a + 1 = \sqrt5\).

Важно! Концы отрезка. При \(a = -2\) получаем \(a+1 = -1\) — это левый конец, он входит в отрезок, значит корней два и такое \(a\) не годится. Ровно так же при \(a = 2\): \(a+1 = 3\) — правый конец. Поэтому в ответе обе границы выколоты.

Ответ: \(a \in (-\infty;\ -2) \cup \left\{\sqrt5 - 1\right\} \cup \left(2;\ \sqrt5\right)\)