Пункт а. Раскрываем синус суммы

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x + \dfrac{1}{2}\cos x,\]

\[2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin x + \cos x.\]

Подставляем:

\[\sqrt{3}\sin x + \cos x - 2\sqrt{3}\cos^2 x = \cos x - 2\sqrt{3}.\]

Слагаемое \(\cos x\) стоит в обеих частях — сокращаем. Переносим всё влево:

\[\sqrt{3}\sin x - 2\sqrt{3}\cos^2 x + 2\sqrt{3} = 0.\]

Делим на \(\sqrt{3}\) (это число, оно не равно нулю):

\[\sin x - 2\cos^2 x + 2 = 0.\]

Переходим к синусу

\[\cos^2 x = 1 - \sin^2 x,\]

\[\sin x - 2\left(1 - \sin^2 x\right) + 2 = 0,\qquad \sin x - 2 + 2\sin^2 x + 2 = 0,\]

\[2\sin^2 x + \sin x = 0,\qquad \sin x\left(2\sin x + 1\right) = 0.\]

Важно! Свободные члены \(-2\) и \(+2\) взаимно уничтожились — квадратное уравнение осталось без свободного члена, и его не нужно решать через дискриминант: достаточно вынести \(\sin x\). И снова — выносим, а не сокращаем, иначе пропадёт серия \(x = \pi k\), дающая два корня из трёх.

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\sin x = -\dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{5\pi}{2};\ -\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем внизу окружности и идём против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\): \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6}\), \(-\pi = -\dfrac{6\pi}{6}\).

\[x = \pi k = \dfrac{6k\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{12\pi}{6} = -2\pi,\quad k = -1 \to -\dfrac{6\pi}{6} = -\pi\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{13\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 0 \to -\dfrac{5\pi}{6}\ (-5 > -6),\quad k = -1 \to -\dfrac{17\pi}{6}\ (-17 < -15)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Правый конец \(-\pi\) — корень и входит в отрезок. Порядок по возрастанию задают числители: \(-13 < -12 < -6\), то есть \(-\dfrac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi\).

Ответ: а) \(\pi k;\ -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{13\pi}{6};\ -2\pi;\ -\pi\)