Пункт а. Раскрываем синус суммы

\[\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin 2x\cos\dfrac{\pi}{6} + \cos 2x\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \dfrac{1}{2}\cos 2x.\]

Умножаем на \(2\):

\[2\sin\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x.\]

Подставляем в уравнение:

\[\sqrt{3}\sin 2x + \cos 2x - \cos x = \sqrt{3}\sin 2x - 1.\]

Важно! Слагаемые \(\sqrt{3}\sin 2x\) стоят в обеих частях — они сокращаются. Ради этого всё и было задумано: двойной угол из задачи исчезает, и остаётся уравнение только относительно \(x\).

\[\cos 2x - \cos x + 1 = 0.\]

Сводим к одному косинусу

Берём \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\):

\[2\cos^2 x - 1 - \cos x + 1 = 0,\qquad 2\cos^2 x - \cos x = 0,\qquad \cos x\left(2\cos x - 1\right) = 0.\]

\[\cos x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[\cos x = \dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Из трёх форм двойного угла берём ту, где только косинус: \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\). Тогда свободные члены \(-1\) и \(+1\) взаимно уничтожаются, и получается уравнение без свободного члена — его легко разложить на множители.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: от верхней точки окружности против часовой стрелки до правой.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6}\), \(4\pi = \dfrac{24\pi}{6}\).

\[x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k = \dfrac{(3 + 6k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{15\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{2},\quad k = 3 \to \dfrac{21\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{14\pi}{6}\ (14 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{26\pi}{6}\ (26 > 24)\ —\ \text{мимо}.\]

Левый конец \(\dfrac{5\pi}{2}\) — корень и входит в отрезок. По возрастанию числители идут \(15 < 21 < 22\), поэтому ответ: \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{3}\).

Важно! Здесь легко перепутать порядок: \(\dfrac{7\pi}{2}\) кажется «больше», чем \(\dfrac{11\pi}{3}\), ведь \(7 > 11\) неверно, а знаменатели разные. Приведение к общему знаменателю (\(21\) и \(22\) шестых) снимает вопрос.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{7\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{3}\)