Пункт а. Раскрываем первое слагаемое

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin x\cos\dfrac{\pi}{3} + \cos x\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x.\]

Умножаем на \(8\cos x\):

\[8\cos x\left(\dfrac{1}{2}\sin x + \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right) = 4\sin x\cos x + 4\sqrt{3}\cos^2 x = 2\sin 2x + 4\sqrt{3}\cos^2 x.\]

Ещё упростим корень: \(\sqrt{48} = \sqrt{16\cdot 3} = 4\sqrt{3}\). Левая часть принимает вид

\[2\sin 2x + 4\sqrt{3}\cos^2 x + 4\sqrt{3}\sin^2 x.\]

Главный шаг: свернуть основное тождество

Два последних слагаемых имеют одинаковый коэффициент \(4\sqrt{3}\):

\[4\sqrt{3}\left(\cos^2 x + \sin^2 x\right) = 4\sqrt{3}\cdot 1 = 4\sqrt{3}.\]

Важно! Вот ради чего в условии стоит именно \(\sqrt{48}\): после упрощения \(4\sqrt{3}\) совпадает с коэффициентом при \(\cos^2 x\), и квадраты схлопываются в единицу. Если коэффициенты у \(\sin^2 x\) и \(\cos^2 x\) одинаковые — это всегда сигнал применить \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Уравнение становится линейным относительно \(\sin 2x\):

\[2\sin 2x + 4\sqrt{3} = 9\sqrt{3} - 8\sin 2x,\qquad 10\sin 2x = 5\sqrt{3},\qquad \sin 2x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.\]

Решаем относительно 2x

Синус равен \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) в двух точках окружности:

\[2x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k\quad\text{или}\quad 2x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k.\]

Делим пополам — и период делим тоже:

\[x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k,\qquad x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! После деления на \(2\) период стал \(\pi\). Если по привычке оставить \(2\pi k\), половина корней пропадёт — а в пункте б они как раз нужны.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{11\pi}{4};\ \dfrac{17\pi}{4}\right]\) имеет длину \(\dfrac{6\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}\). Его начало отвечает точке \(\dfrac{3\pi}{4}\) окружности, конец — точке \(\dfrac{\pi}{4}\): непокрытым остаётся только верхний сектор.

Концы отрезка — в четвертях \(\pi\), а корни — в шестых и третьих долях. Приводим всё к двенадцатым:

\[\dfrac{11\pi}{4} = \dfrac{33\pi}{12},\qquad \dfrac{17\pi}{4} = \dfrac{51\pi}{12}.\]

\[x = \dfrac{\pi}{6} + \pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{12}:\quad k = 3 \to \dfrac{38\pi}{12} = \dfrac{19\pi}{6},\quad k = 4 \to \dfrac{50\pi}{12} = \dfrac{25\pi}{6}\ —\ \text{оба подходят};\]

\[k = 2 \to \dfrac{26\pi}{12}\ (26 < 33),\quad k = 5 \to \dfrac{62\pi}{12}\ (62 > 51)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + \pi k = \dfrac{(4 + 12k)\pi}{12}:\quad k = 3 \to \dfrac{40\pi}{12} = \dfrac{10\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 2 \to \dfrac{28\pi}{12}\ (28 < 33),\quad k = 4 \to \dfrac{52\pi}{12}\ (52 > 51)\ —\ \text{мимо на одну двенадцатую}.\]

Важно! Последний случай показателен: \(\dfrac{52\pi}{12}\) отличается от конца отрезка всего на \(\dfrac{\pi}{12}\). По рисунку такое различие не увидеть — спасает только сравнение числителей.

Выписываем корни по возрастанию: числители \(38 < 40 < 50\), то есть \(\dfrac{19\pi}{6};\ \dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{25\pi}{6}\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{6} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{3} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{19\pi}{6};\ \dfrac{10\pi}{3};\ \dfrac{25\pi}{6}\)