Пункт а. Произведение двух синусов

Слева перемножаются синусы углов \(x + \dfrac{\pi}{4}\) и \(x - \dfrac{\pi}{4}\) — это сумма и разность одних и тех же величин. Для такого случая есть удобная формула:

\[\sin(\alpha + \beta)\sin(\alpha - \beta) = \sin^2\alpha - \sin^2\beta.\]

Здесь \(\alpha = x\), \(\beta = \dfrac{\pi}{4}\), а \(\sin^2\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{1}{2}\):

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\sin\left(x - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin^2 x - \dfrac{1}{2}.\]

Важно! Если формула не вспомнилась, тот же результат даёт преобразование произведения в разность косинусов: \(\sin A\sin B = \dfrac{1}{2}\left(\cos(A - B) - \cos(A + B)\right)\). Здесь \(A - B = \dfrac{\pi}{2}\), \(A + B = 2x\), и сразу получается \(\dfrac{1}{2}\left(0 - \cos 2x\right) = -\dfrac{\cos 2x}{2}\).

Выразим это через \(\cos 2x\). Из \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\) следует \(\sin^2 x = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}\), значит

\[\sin^2 x - \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 - \cos 2x}{2} - \dfrac{1}{2} = -\dfrac{\cos 2x}{2}.\]

Выносим cos 2x

Уравнение становится таким:

\[-\dfrac{\cos x\cos 2x}{2} = \cos 2x.\]

Переносим всё влево и умножаем на \(-2\):

\[\cos x\cos 2x + 2\cos 2x = 0,\qquad \cos 2x\left(\cos x + 2\right) = 0.\]

Вторая скобка в ноль не обращается: \(\cos x \ge -1\), поэтому \(\cos x + 2 \ge 1 > 0\).

Остаётся cos 2x = 0

\[2x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k,\qquad x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2},\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Делим на \(2\) — и период делится тоже: было \(\pi k\), стало \(\dfrac{\pi k}{2}\). Это четыре точки на окружности, расположенные крестом: все середины четвертей.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): точка \(-4\pi\) — правая точка окружности, идём против часовой стрелки до низа.

В четвертях \(\pi\): \(-4\pi = -\dfrac{16\pi}{4}\), \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{10\pi}{4}\).

Корни \(x = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2} = \dfrac{(1 + 2k)\pi}{4}\) — это все нечётные числители. Между \(-16\) и \(-10\) нечётных ровно три:

\[-\dfrac{15\pi}{4},\qquad -\dfrac{13\pi}{4},\qquad -\dfrac{11\pi}{4}.\]

Четвёртая точка «креста» отвечает числителю \(-9\) — она правее конца отрезка, на рисунке светлая.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi k}{2},\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{15\pi}{4};\ -\dfrac{13\pi}{4};\ -\dfrac{11\pi}{4}\)