Пункт а. Убираем сдвиг справа

Раскроем синус разности:

\[\sin\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin x\cos\dfrac{3\pi}{2} - \cos x\sin\dfrac{3\pi}{2}.\]

Здесь \(\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0\), а \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\), поэтому

\[\sin\left(x - \dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 - \cos x\cdot(-1) = \cos x.\]

Важно! Если формулы приведения не вспоминаются мгновенно, всегда можно вывести результат через синус разности — это надёжнее мнемоники «лошадь кивает / мотает головой». Главное — не ошибиться в знаке у \(\sin\dfrac{3\pi}{2} = -1\).

Уравнение принимает вид

\[\sin 2x = \cos x,\qquad 2\sin x\cos x - \cos x = 0,\qquad \cos x\left(2\sin x - 1\right) = 0.\]

Важно! Не сокращаем на \(\cos x\)! Серия \(x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k\) даёт в пункте б два корня из трёх.

Два простейших уравнения

\[\cos x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[\sin x = \dfrac{1}{2} \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: от верхней точки окружности против часовой стрелки до правой.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6}\), \(4\pi = \dfrac{24\pi}{6}\).

\[x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k = \dfrac{(3 + 6k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{15\pi}{6} = \dfrac{5\pi}{2},\quad k = 3 \to \dfrac{21\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{2}\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{17\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{13\pi}{6}\ (13 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{25\pi}{6}\ (25 > 24)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Левый конец \(\dfrac{5\pi}{2}\) оказался корнем и входит в отрезок. Выписываем корни по возрастанию: \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{17\pi}{6};\ \dfrac{7\pi}{2}\) — обратите внимание, что \(\dfrac{17\pi}{6}\) стоит между ними, хотя знаменатели разные. Удобно сравнивать всё в одних долях: \(15 < 17 < 21\).

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k;\ \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{17\pi}{6};\ \dfrac{7\pi}{2}\)