Пункт а. Раскрываем двойной угол и группируем

\[4\sin 2x = 8\sin x\cos x,\]

\[8\sin x\cos x - 4\sqrt{3}\sin x + 12\cos x - 6\sqrt{3} = 0.\]

Снова четыре слагаемых — делим на две пары. В первой выносим \(4\sin x\), во второй \(6\):

\[4\sin x\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) + 6\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) = 0.\]

Скобки совпали — выносим её:

\[\left(2\cos x - \sqrt{3}\right)\left(4\sin x + 6\right) = 0.\]

Важно! Если после группировки скобки не совпали — значит пары выбраны неудачно. Попробуйте переставить слагаемые: здесь, например, можно было соединить первое с третьим и второе с четвёртым. Перебор из двух-трёх вариантов всегда приводит к цели.

Разбираем скобки

Вторая скобка. \(4\sin x + 6 = 0\), то есть \(\sin x = -\dfrac{3}{2}\). Но \(|\sin x| \le 1\) — корней нет.

Первая скобка.

\[\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-4\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\). Точка \(-4\pi\) — это правая точка окружности (там же, где \(0\) и \(2\pi\)), идём против часовой стрелки до \(-\dfrac{5\pi}{2}\) — низ окружности.

В шестых долях \(\pi\): \(-4\pi = -\dfrac{24\pi}{6}\), \(-\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6}\).

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\quad k = -1 \to -\dfrac{11\pi}{6}\ (-11 > -15);\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{25\pi}{6}\ (-25 < -24),\quad k = -1 \to -\dfrac{13\pi}{6}\ (-13 > -15)\ —\ \text{мимо}.\]

Вторая серия обошла отрезок с двух сторон, не попав внутрь; её ближайшая точка — светлая на рисунке.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{23\pi}{6}\)