Пункт а. Формулы приведения и двойной угол

\[\sin(x + \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x,\qquad \sin 2x = 2\sin x\cos x.\]

Ещё упростим корень: \(\sqrt{20} = \sqrt{4\cdot 5} = 2\sqrt{5}\). Подставляем всё и переносим в левую часть:

\[4\sin x\cos x - 2\sqrt{5}\sin x + 2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{15} = 0.\]

Группировка

Четыре слагаемых — значит пробуем разбить их на две пары. В первых двух общий множитель \(2\sin x\):

\[2\sin x\left(2\cos x - \sqrt{5}\right) + 2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{15} = 0.\]

Осталось показать, что вторая пара даёт ту же скобку. Заметим, что \(\sqrt{15} = \sqrt{3}\cdot\sqrt{5}\), поэтому

\[2\sqrt{3}\cos x - \sqrt{15} = \sqrt{3}\left(2\cos x - \sqrt{5}\right).\]

Важно! Все «некрасивые» корни в условии (\(\sqrt{20}\), \(\sqrt{15}\)) существуют только ради этой группировки. Если видите в уравнении корни из не-табличных чисел — почти наверняка их надо разложить на множители и собрать общую скобку.

\[\left(2\cos x - \sqrt{5}\right)\left(2\sin x + \sqrt{3}\right) = 0.\]

Разбираем скобки

Первая скобка. \(2\cos x = \sqrt{5}\), то есть \(\cos x = \dfrac{\sqrt{5}}{2} \approx 1{,}12\). Но косинус не бывает больше единицы — корней нет.

Важно! Сравнение \(\dfrac{\sqrt{5}}{2} > 1\) обосновывается в одну строчку: \(\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2\). Записать это нужно обязательно — иначе отбрасывание скобки выглядит бездоказательным.

Вторая скобка.

\[\sin x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\qquad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\qquad x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{7\pi}{2};\ 5\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем внизу окружности и идём против часовой стрелки до левой точки.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{7\pi}{2} = \dfrac{21\pi}{6}\), \(5\pi = \dfrac{30\pi}{6}\).

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{22\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-4 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{20\pi}{6}\ (20 < 21),\quad k = 3 \to \dfrac{32\pi}{6}\ (32 > 30)\ —\ \text{мимо}.\]

Вторая серия промахнулась на \(\dfrac{\pi}{6}\) — светлая точка на рисунке стоит вплотную к началу дуги, но снаружи.

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k;\ -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{11\pi}{3}\)