Пункт а. Три упрощения подряд

Косинус — функция чётная:

\[\cos(-2x) = \cos 2x.\]

Дальше две формулы приведения:

\[\sin(x - \pi) = -\sin x,\qquad \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x.\]

Вторую возводим в квадрат — минус исчезает:

\[\sin^2\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = \cos^2 x.\]

Важно! Знак «минус» перед дробью и знак из формулы приведения дают в сумме плюс: \(-\dfrac{\sin(x-\pi)}{\sqrt{2}} = -\dfrac{-\sin x}{\sqrt{2}} = +\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}\). Двойной минус — классическое место, где теряют решение.

Уравнение принимает вид

\[\cos 2x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = \cos^2 x.\]

Сводим к синусу

Берём форму \(\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x\), а справа \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\):

\[1 - 2\sin^2 x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = 1 - \sin^2 x.\]

Единицы сокращаются, переносим всё влево:

\[-2\sin^2 x + \sin^2 x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = 0,\qquad -\sin^2 x + \dfrac{\sin x}{\sqrt{2}} = 0,\]

\[\sin x\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}} - \sin x\right) = 0.\]

Два простейших уравнения

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\sin x = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Важно! Синус положителен — значит обе точки лежат в верхней половине окружности: \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\). Записывать вторую серию как \(-\dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k\) нельзя: там синус отрицателен.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{11\pi}{2};\ -4\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем сверху окружности и идём против часовой стрелки до правой точки.

Переводим в четверти \(\pi\):

\[-\dfrac{11\pi}{2} = -\dfrac{22\pi}{4},\qquad -4\pi = -\dfrac{16\pi}{4}.\]

\[x = \pi k = \dfrac{4k\pi}{4}:\quad k = -5 \to -\dfrac{20\pi}{4} = -5\pi,\quad k = -4 \to -\dfrac{16\pi}{4} = -4\pi\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(3 + 8k)\pi}{4}:\quad k = -3 \to -\dfrac{21\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = -3 \to -\dfrac{23\pi}{4}\ (-23 < -22),\quad k = -2 \to -\dfrac{15\pi}{4}\ (-15 > -16)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Правый конец \(-4\pi\) — корень и входит в отрезок. Проверка: \(\sin(-4\pi) = 0\), левая часть \(\cos 8\pi - 0 = 1\), правая \(\cos^2(-4\pi) = 1\).

Ответ: а) \(\pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{21\pi}{4};\ -5\pi;\ -4\pi\)