Пункт а. Чистим формулами приведения

\[\sin(\pi - x) = \sin x,\qquad \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x.\]

Уравнение становится таким:

\[1 + \sin x + \cos x + \sin 2x + \cos 2x = 0.\]

Группируем так, чтобы вылезла скобка (sin x + cos x)

Первое и четвёртое слагаемые складываются в полный квадрат:

\[1 + \sin 2x = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x\cos x = \left(\sin x + \cos x\right)^2.\]

Последнее слагаемое раскладывается на множители как разность квадратов:

\[\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \left(\cos x - \sin x\right)\left(\cos x + \sin x\right).\]

Важно! Две заготовки, которые стоит знать наизусть: \(1 \pm \sin 2x = (\sin x \pm \cos x)^2\) и \(\cos 2x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)\). Как только в уравнении рядом стоят \(1\), \(\sin 2x\) и \(\cos 2x\) — почти всегда работает именно эта пара.

Теперь всё уравнение:

\[\left(\sin x + \cos x\right)^2 + \left(\sin x + \cos x\right) + \left(\cos x - \sin x\right)\left(\cos x + \sin x\right) = 0.\]

Во всех трёх слагаемых есть множитель \(\left(\sin x + \cos x\right)\) — выносим его:

\[\left(\sin x + \cos x\right)\Big[\left(\sin x + \cos x\right) + 1 + \left(\cos x - \sin x\right)\Big] = 0.\]

В квадратных скобках \(\sin x\) сокращается:

\[\left(\sin x + \cos x\right)\left(2\cos x + 1\right) = 0.\]

Два простейших уравнения

Первая скобка. \(\sin x + \cos x = 0\). Косинус здесь не ноль (иначе был бы нулём и синус), поэтому делим на \(\cos x\):

\[\operatorname{tg} x = -1,\qquad x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k.\]

Вторая скобка.

\[\cos x = -\dfrac{1}{2},\qquad x = \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\pi;\ \dfrac{\pi}{2}\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): от левой точки окружности против часовой стрелки до верхней.

Общий знаменатель для \(\dfrac{\pi}{4}\) и \(\dfrac{2\pi}{3}\) — двенадцатые доли \(\pi\):

\[-\pi = -\dfrac{12\pi}{12},\qquad \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{6\pi}{12}.\]

\[x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k = \dfrac{(-3 + 12k)\pi}{12}:\quad k = 0 \to -\dfrac{3\pi}{12} = -\dfrac{\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 1 \to \dfrac{9\pi}{12}\ (9 > 6),\quad k = -1 \to -\dfrac{15\pi}{12}\ (-15 < -12)\ —\ \text{мимо};\]

\[x = -\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-8 + 24k)\pi}{12}:\quad k = 0 \to -\dfrac{8\pi}{12} = -\dfrac{2\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(8 + 24k)\pi}{12}:\quad k = 0 \to \dfrac{8\pi}{12}\ (8 > 6)\ —\ \text{мимо}.\]

На рисунке две светлые точки в левой верхней четверти — это как раз \(\dfrac{2\pi}{3}\) и \(\dfrac{3\pi}{4}\), оба чуть-чуть не дотянули до дуги.

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k;\ \pm\dfrac{2\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{2\pi}{3};\ -\dfrac{\pi}{4}\)