Пункт а. Сумма синусов

Слева — сумма двух синусов. Для неё есть готовая формула:

\[\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\dfrac{\alpha + \beta}{2}\cos\dfrac{\alpha - \beta}{2}.\]

Здесь \(\alpha = x + \dfrac{\pi}{6}\), \(\beta = x + \dfrac{\pi}{3}\). Считаем полусумму и полуразность:

\[\dfrac{\alpha + \beta}{2} = \dfrac{2x + \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3}}{2} = \dfrac{2x + \frac{\pi}{2}}{2} = x + \dfrac{\pi}{4};\]

\[\dfrac{\alpha - \beta}{2} = \dfrac{\frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3}}{2} = \dfrac{-\frac{\pi}{6}}{2} = -\dfrac{\pi}{12}.\]

Важно! Обратите внимание на удачу: полусумма углов оказалась равна ровно тому углу, который стоит в правой части. Это и есть замысел задачи — числа \(\dfrac{\pi}{6}\) и \(\dfrac{\pi}{3}\) подобраны так, чтобы их середина была \(\dfrac{\pi}{4}\).

Косинус — чётная функция, поэтому \(\cos\left(-\dfrac{\pi}{12}\right) = \cos\dfrac{\pi}{12}\), и левая часть равна

\[2\cos\dfrac{\pi}{12}\cdot\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right).\]

Выносим общий множитель

\[2\cos\dfrac{\pi}{12}\cdot\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right),\]

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\left(2\cos\dfrac{\pi}{12} - 1\right) = 0.\]

Вторая скобка — просто число, и она не равна нулю: угол \(\dfrac{\pi}{12}\) (это \(15^\circ\)) лежит в первой четверти, поэтому \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) больше \(\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\), а значит \(2\cos\dfrac{\pi}{12} > 1\).

Важно! Точное значение \(\cos\dfrac{\pi}{12}\) вычислять не нужно — достаточно оценить его сравнением с \(\cos\dfrac{\pi}{3}\): косинус убывает на \(\left[0;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), а \(\dfrac{\pi}{12} < \dfrac{\pi}{3}\). Одной фразы хватает, чтобы закрыть вопрос.

Остаётся

\[\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = 0,\qquad x + \dfrac{\pi}{4} = \pi k,\qquad x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{3\pi}{2};\ 0\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем в верхней точке окружности (ведь \(-\dfrac{3\pi}{2}\) и \(\dfrac{\pi}{2}\) — одно и то же место) и идём против часовой стрелки до правой точки \(0\).

Переводим в четверти \(\pi\): \(-\dfrac{3\pi}{2} = -\dfrac{6\pi}{4}\), \(0 = \dfrac{0\pi}{4}\).

\[x = -\dfrac{\pi}{4} + \pi k = \dfrac{(-1 + 4k)\pi}{4}:\]

\[k = 0:\ -\dfrac{\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\qquad k = -1:\ -\dfrac{5\pi}{4}\ —\ \text{подходит};\]

\[k = 1:\ \dfrac{3\pi}{4}\ (3 > 0);\qquad k = -2:\ -\dfrac{9\pi}{4}\ (-9 < -6).\]

Обе найденные точки лежат на одном диаметре: период \(\pi\) — это полоборота.

Ответ: а) \(-\dfrac{\pi}{4} + \pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{5\pi}{4};\ -\dfrac{\pi}{4}\)