Пункт а. Снимаем корни

Равенство \(\sqrt{A} = \sqrt{B}\) равносильно системе

\[\begin{cases}A = B,\\ B \ge 0.\end{cases}\]

Здесь \(B = \cos x + 11\), и это выражение положительно всегда: \(\cos x \ge -1\), значит \(\cos x + 11 \ge 10 > 0\). Остаётся само уравнение:

\[4\cos^2 x + 9\cos x + 6 = \cos x + 11,\qquad 4\cos^2 x + 8\cos x - 5 = 0.\]

Важно! Условие \(B \ge 0\) всё равно нужно выписать, даже если оно выполняется автоматически. Проверяющий должен видеть, что ученик понимает: просто «возвести обе части в квадрат» без оговорки — не равносильный переход.

Квадратное уравнение относительно косинуса

Пусть \(c = \cos x\), причём \(-1 \le c \le 1\):

\[4c^2 + 8c - 5 = 0,\qquad D = 64 + 80 = 144,\qquad \sqrt{D} = 12,\]

\[c_1 = \dfrac{-8 + 12}{8} = \dfrac{1}{2},\qquad c_2 = \dfrac{-8 - 12}{8} = -\dfrac{5}{2}.\]

Важно! Корень \(c = -\dfrac{5}{2}\) обязательно отбрасываем со словами «\(|\cos x| \le 1\)». Это не формальность: без этой фразы решение считается незавершённым.

\[\cos x = \dfrac{1}{2},\qquad x = \pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-\dfrac{7\pi}{2};\ -2\pi\right]\) имеет длину \(\dfrac{3\pi}{2}\): начинаем сверху окружности и идём против часовой стрелки до правой точки.

Переводим в шестые доли \(\pi\) (напомним, \(\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{6}\)):

\[-\dfrac{7\pi}{2} = -\dfrac{21\pi}{6},\qquad -2\pi = -\dfrac{12\pi}{6}.\]

\[x = -\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(-2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{14\pi}{6} = -\dfrac{7\pi}{3}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{3} + 2\pi k = \dfrac{(2 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{10\pi}{6}\ (-10 > -12),\quad k = -2 \to -\dfrac{22\pi}{6}\ (-22 < -21)\ —\ \text{мимо}.\]

Вторая точка серии (на рисунке светлая) каждый раз «перепрыгивает» отрезок.

Ответ: а) \(\pm\dfrac{\pi}{3} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-\dfrac{7\pi}{3}\)