Пункт а. Вытаскиваем общий множитель

Перенесём слагаемое с \(\cos^2 x\) направо:

\[2\sin^2 x\cos x = \sqrt{3} - \sqrt{3}\cos^2 x = \sqrt{3}\left(1 - \cos^2 x\right).\]

А \(1 - \cos^2 x = \sin^2 x\), поэтому

\[2\sin^2 x\cos x = \sqrt{3}\sin^2 x,\qquad 2\sin^2 x\cos x - \sqrt{3}\sin^2 x = 0,\]

\[\sin^2 x\left(2\cos x - \sqrt{3}\right) = 0.\]

Важно! Снова не сокращаем на \(\sin^2 x\): серия \(x = \pi k\) даёт в пункте б два корня из трёх. Сокращение здесь — потеря почти всего ответа.

\[\sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\qquad \cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{5\pi}{2};\ 4\pi\right]\) — три четверти оборота: от верхней точки окружности против часовой стрелки до правой.

В шестых долях \(\pi\): \(\dfrac{5\pi}{2} = \dfrac{15\pi}{6}\), \(4\pi = \dfrac{24\pi}{6}\).

\[x = \pi k = \dfrac{6k\pi}{6}:\quad k = 3 \to \dfrac{18\pi}{6} = 3\pi,\quad k = 4 \to \dfrac{24\pi}{6} = 4\pi\ —\ \text{оба подходят};\]

\[x = -\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 2 \to \dfrac{23\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 12k)\pi}{6}:\quad k = 1 \to \dfrac{13\pi}{6}\ (13 < 15),\quad k = 2 \to \dfrac{25\pi}{6}\ (25 > 24)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! Правый конец \(4\pi\) — корень, и он входит в отрезок (скобка квадратная). Проверка: \(\sin 4\pi = 0\), первое слагаемое ноль, а \(\sqrt{3}\cos^2 4\pi = \sqrt{3}\) — равенство верное.

Ответ: а) \(\pi k;\ \pm\dfrac{\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(3\pi;\ \dfrac{23\pi}{6};\ 4\pi\)