Пункт а. Удачная группировка

Первое и последнее слагаемые содержат \(\sin x\) — сгруппируем именно их:

\[\sin x\cos 2x + \sin x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0,\qquad \sin x\left(\cos 2x + 1\right) - \sqrt{2}\cos^2 x = 0.\]

Теперь вспоминаем формулу косинуса двойного угла в виде \(\cos 2x = 2\cos^2 x - 1\), откуда

\[\cos 2x + 1 = 2\cos^2 x.\]

Важно! У косинуса двойного угла три записи: \(\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x\). Выбирать нужно ту, которая даёт общий множитель с остальными слагаемыми. Здесь рядом стоит \(\cos^2 x\) — значит берём форму с косинусом.

Подставляем:

\[2\sin x\cos^2 x - \sqrt{2}\cos^2 x = 0,\qquad \cos^2 x\left(2\sin x - \sqrt{2}\right) = 0.\]

Два простейших уравнения

\[\cos^2 x = 0 \;\Longleftrightarrow\; \cos x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k;\]

\[2\sin x = \sqrt{2} \;\Longrightarrow\; \sin x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k,\quad x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Обратите внимание: у \(\cos x = 0\) период \(\pi\), а не \(2\pi\) — две точки окружности (верх и низ) лежат на одной прямой и дают одну серию.

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[\dfrac{3\pi}{2};\ 3\pi\right]\) длины \(\dfrac{3\pi}{2}\) начинается внизу окружности и заканчивается слева.

Переводим в четверти \(\pi\): \(\dfrac{3\pi}{2} = \dfrac{6\pi}{4}\), \(3\pi = \dfrac{12\pi}{4}\). Числитель должен лежать между \(6\) и \(12\).

\[x = \dfrac{\pi}{2} + \pi k = \dfrac{(2 + 4k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{6\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2},\quad k = 2 \to \dfrac{10\pi}{4} = \dfrac{5\pi}{2};\]

\[x = \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(1 + 8k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{9\pi}{4};\]

\[x = \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k = \dfrac{(3 + 8k)\pi}{4}:\quad k = 1 \to \dfrac{11\pi}{4}.\]

Получилось четыре корня — больше, чем обычно, потому что серия с периодом \(\pi\) успевает дать две точки. Записываем их по возрастанию: \(\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4}\).

Важно! Левый конец отрезка \(\dfrac{3\pi}{2}\) сам оказался корнем — скобки квадратные, значит он идёт в ответ. Проверка: \(\cos\dfrac{3\pi}{2} = 0\), и всё произведение обращается в ноль.

Ответ: а) \(\dfrac{\pi}{2} + \pi k;\ \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k;\ \dfrac{3\pi}{4} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(\dfrac{3\pi}{2};\ \dfrac{9\pi}{4};\ \dfrac{5\pi}{2};\ \dfrac{11\pi}{4}\)