Пункт а. Собираем всё в одну сторону

Перенесём \(2\cos x\) влево и вынесем общий множитель:

\[2\cos^3 x - 2\cos x = \sqrt{3}\sin^2 x,\qquad 2\cos x\left(\cos^2 x - 1\right) = \sqrt{3}\sin^2 x.\]

Из основного тригонометрического тождества \(\cos^2 x - 1 = -\sin^2 x\), поэтому слева получается

\[-2\sin^2 x\cos x = \sqrt{3}\sin^2 x.\]

Теперь в обеих частях есть множитель \(\sin^2 x\). Переносим всё влево:

\[-2\sin^2 x\cos x - \sqrt{3}\sin^2 x = 0,\qquad \sin^2 x\left(2\cos x + \sqrt{3}\right) = 0.\]

Важно! Здесь особенно велик соблазн сократить обе части на \(\sin^2 x\) — ведь он стоит и слева, и справа. Делать этого нельзя: пропадёт серия \(x = \pi k\), а в пункте б она даёт один из двух корней. Общий множитель выносим.

Произведение равно нулю, если ноль хотя бы один множитель:

\[\sin^2 x = 0 \;\Longleftrightarrow\; \sin x = 0 \;\Longrightarrow\; x = \pi k;\]

\[\cos x = -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \;\Longrightarrow\; x = \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\quad k \in \mathbb{Z}.\]

Пункт б. Отбор корней

Отрезок \(\left[-3\pi;\ -\dfrac{5\pi}{2}\right]\) имеет длину всего \(\dfrac{\pi}{2}\) — это четверть оборота. Точка \(-3\pi\) лежит слева на окружности, конец \(-\dfrac{5\pi}{2}\) — внизу.

Переводим в шестые доли \(\pi\):

\[-3\pi = -\dfrac{18\pi}{6},\qquad -\dfrac{5\pi}{2} = -\dfrac{15\pi}{6}.\]

Числитель должен попасть в промежуток от \(-18\) до \(-15\) — он очень узкий, всего четыре целых значения.

\[x = \pi k = \dfrac{6k\pi}{6}:\quad k = -3 \to -\dfrac{18\pi}{6} = -3\pi\ —\ \text{подходит (левый конец отрезка)};\]

\[x = -\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(-5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -1 \to -\dfrac{17\pi}{6}\ —\ \text{подходит};\]

\[x = \dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k = \dfrac{(5 + 12k)\pi}{6}:\quad k = -2 \to -\dfrac{19\pi}{6}\ (-19 < -18)\ —\ \text{мимо}.\]

Важно! На коротких отрезках ошибка «на единицу» стоит дороже всего: \(-\dfrac{19\pi}{6}\) и \(-\dfrac{18\pi}{6}\) — соседние числа, и на глаз по рисунку их легко перепутать. Поэтому неравенство с числителями писать обязательно.

Ответ: а) \(\pi k;\ \pm\dfrac{5\pi}{6} + 2\pi k,\ k \in \mathbb{Z}\);   б) \(-3\pi;\ -\dfrac{17\pi}{6}\)